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文档简介
1、2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(1)(I)复习回顾 引例:填空(1);a0= (a; (2) aman=_ (m,nZ);(am)n=_(m,nZ); (ab)n=_(nZ)(3); -;(4); (1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质;(3)(4)复习平方根的概念(II)讲授新课22=4 ,(-2)2=4 2,-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根; (-2)3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根1.n次方根的定义:(板书)一般地,如果,那么x叫做a的n次方根( th root),其中,且。 问题1:n次方根的定义给出了,x如何
2、用a表示呢?是否正确?分析过程:例1根据n次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a6的3次方根。(要求完整地叙述求解过程)结论1:当n为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n次方根是正数,负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a的n次方根可表示为。从而有:,例2根据n次方根的概念,分别求出16的4次方根,-81的4次方根。结论2:当n为偶数时(跟平方根一样),有下列性质:正数的n次方根有两个且互为相反数,负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为:其中表示a的正的n次方根,表示a的负的n次方根。例3根据n次方根的概念,分别求出0的3次方根,0的4次
3、方根。结论3:0的n次方根是0,记作当a=0时也有意义。这样,可在实数范围内,得到n次方根的性质:3.n次方根的性质:(板书) 其中 叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。注意:根式是n次方根的一种表示形式,并且,由n次方根的定义,可得到根式的运算性质。4.根式运算性质:(板书),即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。问题2:若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么?例4:求 , , , 由所得结果,可有:(板书)性质的推导(略):()例题讲解例1求下列各式的值: (4)(ab)注意:根指数n为奇数的题目较易处理,要侧重于根指数n为偶数的运算。(III)课堂练习:求下列各式的值(
4、1) (2) (3) (4)2.1.1指数与指数幂的运算(2)(I)复习回顾1.填空(1) (2);(3) (4)(5); (6)(II)讲授新课分析:对于“填空”中的第四题,既可根据n次方根的概念来解:;也可根据n次方根的性质来解:。问题1:观察,结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系?问题2:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?如:是否可行?分析:假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用,那么,这说明也是的3次方根,而也是a2的3次方根(由于这里n=3,a2的3次方根唯一),于是。这说明可行。由此可有:1.正数的正分数指数幂的意义:)注意两点:一是
5、分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3:在上述定义中,若没有“a0”这个限制,行不行?分析:正例:等等;反例:;问题4:如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂?分析:正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿;0的分数指数幂与0的非0整数幂意义相仿。2.负分数指数幂:3.0的分数指数幂:(板书)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义(为什么?)。说明:(1)分数指数幂的意义只是一种规定,前面所举的例子只表示这种规定的合理性;(2)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数指数推广到了有
6、理数指数;(3)可以验证整数指数幂的运算性质,对于有理数幂也同样适用,即(板书);问题5:若a0,是无理数,则a该如何理解?(引导学生先阅读课本P62P62)即:的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近.所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示) 由此,同样可规定 ap表示一个确定的实数; 上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明从略; 指数概念可以扩充到实数指数(为下一小节学习指数函数作铺垫)。(III)例题讲解:例2求值:分析:此题主要运用有理指数幂
7、的运算性质。例3用分数指数幂的形式表示下列各式:分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。2.1.1指数与指数幂的运算(3)(I)复习回顾1.分数指数幂的概念,以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ; 2.用分数指数幂表示下列各式(a0,x0) (II)讲授新课例1计算下列各式(式中字母都是正数) 分析:(1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并且要注意符号。(2)题先按积的乘方计算,后按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求,可根据
8、要求给出结果,但: 结果不能同时含有根式和分数指数;不能同时含有分母和负指数; 根式需化成最简根式。 例2计算下列各式: 分析:(1)题把根式化成分数指数幂形式,再计算。(2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算。例3求值:(III)课堂练习计算下列各式:2.1指数函数测试题一、选择题1函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是( )A、 B、 C、a D、12.下列函数式中,满足f(x+1)=f(x)的是( )A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x3.下列f(x)=(1+ax)2是( )A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数4函数y=
9、是( )A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数5函数y=的值域是( )A、(-) B、(-0)(0,+) C、(-1,+) D、(-,-1)(0,+)6下列函数中,值域为R+的是( )A、y=5 B、y=()1-x C、y= D、y=7已知0a1,b0)与函数y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点,则这四点从上到下的排列次序是 11函数y=3的单调递减区间是 12若f(52x-1)=x-2,则f(125)= 三、解答题13、已知关于x的方程2a7a+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根14、设a是实数,试证明对于任意a,为增函数
10、15、已知函数f(x)=(aa)(a0且a1)在(, +)上是增函数, 求实数a的取值范围参考答案一、选择题1、D;2、D;3、B;4、A;5、D;6、B;7、A二、填空题8.(-,0)(0,1) (1,+ )9()9,3910D、C、B、A。11(0,+)120三、解答题13、解: 2a7a+3=0, a=或a=3.a=时, 方程为: 8()14()+3=0x=2或x=1log3a=2时, 方程为: 22+3=0x=2或x=1log214、证明:设R,且则由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即0得+10, +10所以0即因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,为增函数15、解:
11、由于f(x)递增, 若设xx,则f(x)f(x)=(aa)(aa)=(a a)(1+aa)0, 故(a9)( (a a)3; (2) , 解得0a1.综合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。2.1.2 指数函数及其性质(1)讲解新课(一)指数函数的概念一般地,函数y=ax(a0,a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.知识拓展:(1)定义域为什么是实数集? (2)在函数解析式y=ax中为什么要规定a0,a1?练习:判断下列函数是否是指数函数:y=23x;y=3x1;y=x3;y=3x;y=(3)x;y=x;y=3x2;y=xx;y=(2a1)x(a,且a1).只有为指数函
12、数.(二)指数函数的图象和性质问:指数函数y=ax,其中底数a是常数,指数x是自变量,幂y是函数.底数a有无穷多个取值,不可能逐一研究,选函数y=2x为例完成以下表格,并且用计算机画出函数的图象124结合函数y=2x的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性),分析函数的图象特征合作探究:是否所有的指数函数的图象均与y=2x的图象类似?画出函数y=8x,y=3.5x,y=1.7x,y=0.8x的图象,你有什么发现呢?结论:y=0.8x的图象与其余三个图象差别很大,其余三个图象与y=2x的图象有点类似,说明还有一类指数函数的图象与y=2x有重大差异. 那么从中选择一个具体函数进行研究,以函数y=()x
13、的图象.为例合作探究:函数y=2x的图象和函数y=()x的图象的异同点. 给出结论教材第62页图表合作探究:函数y=2x的图象和函数y=()x的图象有什么关系?结论:函数y=2x的图象和函数y=()x的图象关于y轴对称.证明:因为函数y=()x=2x,点(x,y)与(x,y)关于y轴对称,所以y=2x的图象上的任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(x,y)都在y=()x的图象上,反之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y=2x的图象得到函数y=()x的图象.合作探究:如何快速地画出指数函数简图?(1)要注意图象的分布区域:指数函数的图象知分布在第一、二象限;(2)注意函数图象的特征点:无论底
14、数取符合要求的任何值,函数图象均过定点(0,1);(3)注意函数图象的变化趋势:函数图向下逐渐接近x轴,但不能和x轴相交.(三)例题讲解【例1】求下列函数的定义域:(1)y=8;(2)(1)函数的定义域是x|xR,x;(2)函数的定义域是R【例2】已知指数函数(0且1)的图象过点(3,),求探究:比较函数y=2x和y=10x的图象以及y=()x和y=()x的图象.思考底数a的变化对图象的影响. 结论:在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.补充作业1.函数y=(2a23a+2)ax是指数函数,则a的取值范围 ( )A.a0,a1 B.a=1C.a=D.a=1或a=2函数yax21(a0
15、,a1)的图象必经过点()A(0,1)B(1,1)C(2,0)D(2,2)3.证明函数y=ax和y=ax(a0,且a1)的图象关于y轴对称.参考答案:1.C 2.D 3.设P1(x1,y1)是函数y=ax(a0,且a1)的图象上任意一点,则y1=a,而P1(x1,y1)关于y轴的对称点是Q(x1,y1),y1=a=a,即Q在函数y=ax的图象上.由于P1是任意取的,y=ax上任一点关于y轴的对称点都在y=ax的图象上.同理可证:y=ax图象上任意一点也一定在函数y=ax的图象上,函数y=ax和y=ax的图象关于y轴对称.2.1.2 指数函数及其性质(2)二、讲解新课(一)利用指数函数的性质比较
16、大小【例1】 比较下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73;(2)0.80.1,0.80.2;(3)1.70.3,0.93.1.方法引导:(1)利用计算器(2)利用函数的单调性【例2】 将下列各数从小到大排列起来:(),(),3,(),(),()0,(2)3,().(讨论:利用什么性质? 师生共练,注意格式 小结:分类、单调性;利用中间数)【例3】 解不等式:(1)9x3x2;(2)34x26x0.(二)指数型函数在实际是的应用【例3】 截止到1999年底,我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少?(精确到亿)解:先求出函数关
17、系式:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿.经过1年,人口数y=13(1+1%)(亿);经过2年,人口数y=13(1+1%)2(亿);经过x年,人口数y=13(1+1%)x=131.01x(亿).当x=20时,y=131.012016(亿).所以,经过20年后,我国的人口数最多为16亿.小结指数函数增长模型:原有量N,平均最长率p,则经过时间x后的总量y=? 一般形式y=N(1+p)x我们把形如y=kax(kR,a0,且a1)的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型.练习: 2005年某镇工业总产值为100亿,计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的
18、多少倍? 变式:多少年后产值能达到120亿?三、课堂小结本节课中主要渗透了数学的思想方法:分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想,数学的思想方法是数学学习的主轴线.练习:1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(1/2)-1,5,则 (D)A.y3y1y2 B.y2y1y3C.y1y2y3 D.y1y3y22.一片树林中现有木材30000 m3,如果每年增长5%,经过x年树林中有木材y m3,写出x、y间的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到40000 m3.(结果保留一个有效数字)函数关系式为y=30000(1+5%)x(x0).当y=40000时,得=(1+5%)x =1.05x,画出y=1.05x(x0)的图象,从图象上找到与
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