基本初等函数第一讲

1、2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(1)（I）复习回顾 引例：填空（1）；a0= （a； (2) aman=_ (m,nZ)；(am)n=_(m,nZ)； (ab)n=_(nZ)（3）； -；（4）； (1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质；(3)(4)复习平方根的概念（II）讲授新课22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根1.n次方根的定义：（板书）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何

2、用a表示呢？是否正确？分析过程：例1根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。从而有：，例2根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。例3根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次

3、方根。结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3.n次方根的性质：（板书） 其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。4.根式运算性质：（板书），即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求 ， ， ， 由所得结果，可有：（板书）性质的推导（略）：（）例题讲解例1求下列各式的值： （4）（ab）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值(

4、1) (2) (3) (4)2.1.1指数与指数幂的运算(2)（I）复习回顾1.填空（1） （2）；（3） (4)（5）； （6）（II）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：；也可根据n次方根的性质来解：。问题1：观察，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：是否可行？分析：假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用，那么，这说明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是。这说明可行。由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：)注意两点:一是

5、分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3：在上述定义中，若没有“a0”这个限制，行不行？分析：正例：等等；反例：；问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂意义相仿。2.负分数指数幂：3.0的分数指数幂：（板书）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有

6、理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）；问题5：若a0，是无理数，则a该如何理解？（引导学生先阅读课本P62P62）即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示) 由此，同样可规定 ap表示一个确定的实数； 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略； 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。（III）例题讲解：例2求值：分析：此题主要运用有理指数幂

7、的运算性质。例3用分数指数幂的形式表示下列各式：分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。2.1.1指数与指数幂的运算(3)（I）复习回顾1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ； 2.用分数指数幂表示下列各式（a0,x0） （II）讲授新课例1计算下列各式（式中字母都是正数） 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据

8、要求给出结果，但： 结果不能同时含有根式和分数指数；不能同时含有分母和负指数； 根式需化成最简根式。 例2计算下列各式： 分析：（1）题把根式化成分数指数幂形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。例3求值：（III）课堂练习计算下列各式：2.1指数函数测试题一、选择题1函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）A、 B、 C、a D、12.下列函数式中，满足f(x+1)=f(x)的是( )A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x3.下列f(x)=(1+ax)2是（ ）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数4函数y=

9、是（ ）A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数5函数y=的值域是（ ）A、（-） B、（-0）（0，+） C、（-1，+） D、（-，-1）（0，+）6下列函数中，值域为R+的是（ ）A、y=5 B、y=()1-x C、y= D、y=7已知0a1,b0)与函数y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是 11函数y=3的单调递减区间是 12若f(52x-1)=x-2,则f(125)= 三、解答题13、已知关于x的方程2a7a+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根14、设a是实数，试证明对于任意a,为增函数

10、15、已知函数f(x)=(aa)(a0且a1)在(, +)上是增函数, 求实数a的取值范围参考答案一、选择题1、D；2、D；3、B；4、A；5、D；6、B；7、A二、填空题8.(-,0)(0,1) (1,+ )9（）9，3910D、C、B、A。11（0，+）120三、解答题13、解: 2a7a+3=0, a=或a=3.a=时, 方程为: 8()14()+3=0x=2或x=1log3a=2时, 方程为: 22+3=0x=2或x=1log214、证明：设R,且则由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即0得+10, +10所以0即因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数15、解:

11、由于f(x)递增， 若设xx,则f(x)f(x)=(aa)(aa)=(a a)(1+aa)0, 故(a9)( (a a)3; (2) , 解得0a1.综合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。2.1.2 指数函数及其性质（1）讲解新课（一）指数函数的概念一般地，函数y=ax（a0，a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识拓展：（1）定义域为什么是实数集？ （2）在函数解析式y=ax中为什么要规定a0，a1？练习：判断下列函数是否是指数函数：y=23x；y=3x1；y=x3；y=3x；y=（3）x；y=x；y=3x2；y=xx；y=（2a1）x（a，且a1）.只有为指数函

12、数.（二）指数函数的图象和性质问：指数函数y=ax，其中底数a是常数，指数x是自变量，幂y是函数.底数a有无穷多个取值，不可能逐一研究，选函数y=2x为例完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象124结合函数y=2x的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性），分析函数的图象特征合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y=2x的图象类似？画出函数y=8x，y=3.5x，y=1.7x，y=0.8x的图象，你有什么发现呢?结论：y=0.8x的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y=2x的图象有点类似，说明还有一类指数函数的图象与y=2x有重大差异. 那么从中选择一个具体函数进行研究，以函数y=（）x

13、的图象.为例合作探究：函数y=2x的图象和函数y=（）x的图象的异同点. 给出结论教材第62页图表合作探究：函数y=2x的图象和函数y=（）x的图象有什么关系？结论：函数y=2x的图象和函数y=（）x的图象关于y轴对称.证明：因为函数y=（）x=2x，点（x，y）与（x，y）关于y轴对称，所以y=2x的图象上的任意一点P（x，y）关于y轴的对称点P1（x，y）都在y=（）x的图象上，反之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y=2x的图象得到函数y=（）x的图象.合作探究：如何快速地画出指数函数简图？（1）要注意图象的分布区域：指数函数的图象知分布在第一、二象限；（2）注意函数图象的特征点：无论底

14、数取符合要求的任何值，函数图象均过定点（0，1）；（3）注意函数图象的变化趋势：函数图向下逐渐接近x轴，但不能和x轴相交.（三）例题讲解【例1】求下列函数的定义域：（1）y=8；（2）（1）函数的定义域是x|xR，x；（2）函数的定义域是R【例2】已知指数函数（0且1）的图象过点（3，），求探究：比较函数y=2x和y=10x的图象以及y=（）x和y=（）x的图象.思考底数a的变化对图象的影响. 结论：在第一象限内，底数a越小，函数的图象越接近x轴.补充作业1.函数y=（2a23a+2）ax是指数函数，则a的取值范围 （ ）A.a0，a1 B.a=1C.a=D.a=1或a=2函数yax21（a0

15、，a1）的图象必经过点（）A（0，1）B（1，1）C（2，0）D（2，2）3.证明函数y=ax和y=ax（a0，且a1）的图象关于y轴对称.参考答案：1.C 2.D 3.设P1（x1，y1）是函数y=ax（a0，且a1）的图象上任意一点，则y1=a，而P1（x1，y1）关于y轴的对称点是Q（x1，y1），y1=a=a，即Q在函数y=ax的图象上.由于P1是任意取的，y=ax上任一点关于y轴的对称点都在y=ax的图象上.同理可证：y=ax图象上任意一点也一定在函数y=ax的图象上，函数y=ax和y=ax的图象关于y轴对称.2.1.2 指数函数及其性质（2）二、讲解新课（一）利用指数函数的性质比较

16、大小【例1】 比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.80.1，0.80.2；（3）1.70.3，0.93.1.方法引导：（1）利用计算器（2）利用函数的单调性【例2】 将下列各数从小到大排列起来：（），（），3，（），（），（）0，（2）3，（）.（讨论：利用什么性质？ 师生共练，注意格式 小结：分类、单调性；利用中间数）【例3】 解不等式：（1）9x3x2；（2）34x26x0.（二）指数型函数在实际是的应用【例3】 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少?（精确到亿）解：先求出函数关

17、系式：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿.经过1年，人口数y=13（1+1%）（亿）；经过2年，人口数y=13（1+1%）2（亿）；经过x年，人口数y=13（1+1%）x=131.01x（亿）.当x=20时，y=131.012016（亿）.所以，经过20年后，我国的人口数最多为16亿.小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ 一般形式y=N（1+p）x我们把形如y=kax（kR，a0，且a1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型.练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的

18、多少倍？ 变式：多少年后产值能达到120亿？三、课堂小结本节课中主要渗透了数学的思想方法：分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想，数学的思想方法是数学学习的主轴线.练习：1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(1/2)-1,5，则 （D）A.y3y1y2 B.y2y1y3C.y1y2y3 D.y1y3y22.一片树林中现有木材30000 m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m3，写出x、y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000 m3.（结果保留一个有效数字）函数关系式为y=30000（1+5%）x（x0）.当y=40000时，得=（1+5%）x =1.05x，画出y=1.05x（x0）的图象，从图象上找到与