完整分式讲义

1、. .; 分式分式 1 分式的概念：分式的概念： 形如 (A,B 是整式，且 B 中含有字母)。要使分式有意义，作为分母的整式 B 的值不能为 B A 0，即 B0。要使分式的值为 0，只能分子的值为 0，同时保证分母的值不为 0，即 A=0， 且 B0。 1、式子 中，是分式的有（ ） x 2 5 yx a2 1 1 x A B. C. D. 2、分式中，当时，下列结论正确的是（ ） 13 x ax ax A分式的值为零 B.分式无意义 C. 若时,分式的值为零 D. 若时,分式的值为零 3 1 a 3 1 a 3. 若分式无意义,则 x 的值是( ) 1x x A. 0 B. 1 C. -

2、1 D.1 4.如果分式的值为负数,则的 x 取值范围是( ) x21 1 A. B. C. D. 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 分式的基本性质：分式的基本性质： 分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。即 = B A CB CA ， = （C0） B A CB CA 1不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ） 11 510 11 39 xy xy A10 B9 C45 D90 2下列等式：=-;=;=-; ()ab c ab c xy x xy x ab c ab c =-中,成立的是（ ） mn m mn m A

3、B C D 3不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ 2 3 23 523 xx xx ） . .; A B C D 2 3 32 523 xx xx 2 3 32 523 xx xx 2 3 32 523 xx xx 2 3 32 523 xx xx 4对于分式，永远成立的是（ ） 1 1 x A B. C. D. 1 2 1 1 xx1 1 1 1 2 x x x 2 ) 1( 1 1 1 x x x3 1 1 1 xx 5下列各分式正确的是( ) A. B. C. D. 2 2 a b a b ba ba ba 22 a a aa 1 1 12 2 xxxy yx

4、2 1 68 43 2 3 最简分式及分式的约分与通分：最简分式及分式的约分与通分： 1） 最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。 2） 约分：利用分式的基本性质约去分子分母中所有公因式，使所得的结果为最简分式或 是整式。 3） 通分：利用分式的基本性质，对分式的分子，分母同时乘以适当的整式，不改变分式 的值，把几个不同分母的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形称为通分。通分 的第一步是确定分式间的最简公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为 公分母，即最简公分母。 总结：分式的通分，约分前都需要将分子，分母中的多项式因式分解 1化简分式的结果是_. x x 1 1 2

5、2.约分：(1) ， (2) ， (3). 4 32 30 4 ab ba 2 2 1 12 m mm 4 2 )( )( ab ba 3.把下列各式通分: (1) ， (2). 22 6 1 , 3 2 aba 22 )2( 1 , 4 x x x x (3) ， (3). 94 52 , 23 2 , 32 1 2 x x xx 22 1 , baba b ba 4 分式的运算：分式的运算： 1） 分式的乘除法法则：分式乘分式，分子的积作为积得分子，分母的积作为积得分母； 分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后与被除式相乘。 2） 分式的加减法法则：同分母相加减，分母不变，分子相加减；

6、异分母相加减，通分化 为同分母后再加减。 总结：分式的乘除进行约分运算；分式的加减进行通分运算。做混合运算时，先乘方，再 乘除，后加减，有括号先做括号。 1.（-）等于（ ） 2 2 3 4 xy z 2 8z y . .; A6xyz B- C-6xyz D6x2yz 23 38 4 xyz yz 2计算： 2 3 x x 2 2 69 4 xx x 3 等于（ ） 2 2 ab cd 3 4 ax cd A Bb2x C- D- 2 2 3 b x 3 2 2 2 3 b x 22 22 3 8 a b x c d 4计算： 2 3 a a 2 2 4 69 a aa 5若 x 等于它的倒

7、数，则的值是（ ） 2 6 3 xx x 2 3 56 x xx A-3 B-2 C-1 D0 6计算：（xy-x2）=_ xy xy 7将分式化简得，则 x 应满足的条件是_ 2 2 x xx1 x x 8计算 2 2 1 21 a aa 2 1 aa a 10化简+等于（ ） 1 x 1 2x 1 3x A B C D 1 2x 3 2x 11 6x 5 6x 11计算+-得（ ） 3 4 x xy4 xy yx 7 4 y xy A- B C-2 D2 26 4 xy xy 26 4 xy xy 12计算 a-b+得（ ） 2 2b ab A Ba+b C Da-b 2 2abb ab

8、22 ab ab . .; 13若=+，则 m=_ 22 m xy 2 22 2xyy xy xy xy 14当分式-的值等于零时，则 x=_ 2 1 1x 2 1x 1 1x 15如果 ab0，则-的值的符号是_ 1b ab b a 16已知 a+b=3，ab=1，则+的值等于_ a b b a 17计算：- 2 2 2 x xx 2 1 44 x xx 18计算：-x-1 2 1 x x 19先化简，再求值:-+，其中 a= 3 a a 2 6 3 a aa 3 a 3 2 5 整数指数幂的运算：整数指数幂的运算： 1） 分式的乘方：（n 为整数） ； 2） 同底数的乘法：（m、n 为整数

9、） ； 3） 积得乘方：（n 为整数） ； 4） 幂的乘方：（am）n=amn（m，n 都是整数） 5）同底数幂的除法：（a0，m、n 为整数） ； 总结：（a0） ；（a0，n 为正整数） 1若 m,n 为正整数,则下列各式错误的是（ ） A B. C. D. nmnm aaaa nn n ba b a mn n m aa n n am am 1 2.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 11 0 15 . 0 2 1 0 11 1 2 35 xxx 3.若,则等于( )25102 xx 10 A. B. C. D. 5 1 5 1 50 1 625 1 4.若,则等于( )3 1

10、 aa 22 aa . .; A. 9 B. 1 C. 7 D. 11 5 已知 ,则用x表示y的结果是( ) p x21 p y 21 A. B. C. D. 1 1 x x 1 2 x x 1x x x2 6.计算:=_(n为整数) 122 11 nn 7.计算:_2 2 1 8.化简:=_)( 2211 yxyxyx 9.已知:,则_.57 , 37 nm nm2 7 10.已知:, 则x=_ 9 4 3 2 8 27 321 xx 11.计算: (1) (2) 1 01 2 3 ) 3 2 6(34 3 213 2 xyba 分式方程及应用：分式方程及应用： 1) 分式方程：分母中含有

11、未知数的有理方程叫做分式方程 2) 解分式方程：找出最简公分母，方程两边同时乘以最简公分母化为整式方程后，解整 式方程，把解代入最简公分母验算，使公分母为 0 的根，为增根，舍去。 3) 分式方程的应用：检验所列方程是否为分式方程；求解后注意检验根是否为增根及是 否符合实际问题。 1.满足方程的x值是( ) 2 2 1 1 xx A.1 B.2 C.0 D. 没有 2.已知,则a等于( ) 1( e an am e A. B. C. D.以上答案都不对. e nm 1e men 1e nem 1 3.分式方程的解为( ) 2 3 4 16 2 4 2 xxx A. B. C. D.无解.0 x

12、2x2x 4.若方程有负数根,则k的取值范围是_. kxx 2 3 3 5.当 x_时,分式的值等于. x x 5 1 2 1 6.若使与互为倒数,则x的值是_. 2 3 x x 23 2 x x 7.已知方程的解为,则a=_. 5 3 1 ) 1( )(2 xa ax 5 1 x . .; 8.解下列分式方程: (1). ， (2) . 3 1 1 5 xx1 637 222 xxxxx 9.已知关于x的方程解为正数,求m的取值范围. 3 2 3 x m x x 10.当 m 为何值时,解方程会产生增根? 11 5 1 2 2 x m xx 11某校用 420 元钱到商场去购买“84”消毒液

13、，经过还价，每瓶便宜 0.5 元，结果比用 原价多买了 20 瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶元，则可列出方程为（ ）x A B20 5 . 0 420420 xx 20 420 5 . 0 420 xx C D5 . 0 20 420420 xx 5 . 0 420 20 420 xx 12甲、乙两人同时从 A 地出发，骑自行车行 30 千米到 B 地，甲比乙每小时少走 3 千米， 结果乙先到 40 分钟。若设乙每小时走 x 千米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 30302 33xx 30302 33xx 30302 33xx 30302 33xx 13为了适应国民经济持续快速协调

14、的发展，自 2004 年 4 月 18 日起，全国铁路实施第五 次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了 7.42 小时.若天津到上海的路程为 1326 千米,提速前火车的平均速度为x千米/时,提速后火车的平均速度为y千米/时,则x、y应 满足的关系式( ) A. B. C. D. 1326 7.42 xy 1326 7.42 yx 13261326 7.42 xy 13261326 7.42 yx 14.一个分数的分母比它的分子大 5,如这个分数的分子加上 14,分母减去 1,所得到的分数 为原分数的倒数,求这个分数. 15甲、乙两人在相同时间内各加工 168 个零件和 144 个零件，

15、已知每小时甲比乙多加工 8 个零件，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 16A、B 两地相距 20 km，甲骑车自 A 地出发向 B 地方向行进 30 分钟后，乙骑车自 B 地出 发，以每小时比甲快 2 倍的速度向 A 地驶去，两车要距 B 地 12 km 的 C 地相遇，求甲、乙 两人的车速. 17.有一项工程要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做正好如期完成，如果乙工程队单 独做就要超过 4 天才能完成。现由甲、乙两队合作 3 天，余下的工程由乙队单独做正好按 期完成，问规定日期是多少天？ 单元测试单元测试 一、选择题 1、分式，中最简分式有（ ） x a 22 yx yx 22 ba

16、ba yx yx A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 2、下列计算正确的是（ ） . .; A、 B、 C、 D、 7 2 5 aa 8 a 42 aa 43 5 1 0 1 1 x x 3、若有意义，则的取值范围是（ ） 20 1232 xxx A、 B、 C、或 D、且2x 2 1 x2x 2 1 x2x 2 1 x 4、将方程去分母，整理后得到的方程是（ ） 1 3 2 1 4 2 xx x A、B、C、D、032 2 xx052 2 xx03 2 x05 2 x 5、化简的结果是（ ）xx x x 2 3 1 A、1B、C、D、1x 1x x x x 1 6、若分式方程无解，则的

17、值为（ ）2 11 3 x m x x m A、1B、3C、0D、2 7、若分式的值为 0，则等于（ ） 23 1 2 xx x x A、1B、1C、1 或 1D、1 或 2 8、方程的解是（ ） 4 4 2 1 2 1 2 xxx A、B、C、无解D、以上都不对2x2x 9、若，则（ ） 21 111 RRR A、B、C、D、 21 RRR 21 21 RR RR R 21 21 RR RR R 2 1 1 RR RR R 10、一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则甲、乙两人合作完成ab 需要（ ）小时。 A、B、C、D、 ba 11 ab 1 ba 1 ba ab 二、填空题

18、1、用科学记数法表示0.0003097 。 （保留两个有效数字） 2、分式，的最简公分母是 。 x 1 4 2 2 x x x y 2 3 3、已知，试用含的代数式表示，则 。 3 2 y y xxyy 4、当 时，分式有意义。x 9 2 x x 5、计算： 。 x x1 x 1 1 . .; 6、方程的解是 。 xx x1 3 1 2 7、若一件大衣标价元，按 8 折售出利润率为%，则这件大衣的进价是 ab 元。 8、若，则 。3 1 xx 22 xx 9、若关于的方程有增根，则 。x x k x 1 1 1 3 k 10、若，则 。034 xy y yx 三、计算 1、 2、 3 0 2

19、25 1 4 1 3 aa 2 1 4 4 2 3、 4、 ba ba 22 ab ba 22 2 42 3 x x 2 5 2 x x 四、解下列方程 1、 2、3 2 1 2 1 x x xx x x x x 4 13 4 12 16 96 5 2 五、化简求值 1、 其中 4 4 2 2 2 x x x x 4 1 2 x 3x 2、 其中 x x xx26 1 9 6 3 1 2 62 96 2 x xx 4x 分式分式 二学习过程二学习过程 1. 温故知新：温故知新：把下列各式因式分解 （1） 4a4b216b4a2 = （2）a4b48a2b216= （3） （ab）3c2（ab）

20、2c+（ab）c= （4）12 22 mnmn （5）xyxy 22 2.重点难点解析重点难点解析 （1） 分式的概念分式的概念 如果 A、B 表示两个整式，AB 就可以表示成的形式如果 B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式 B A . .; （2） 分式有意义、无意义的条件分式有意义、无意义的条件 当分式的分母不为零时，分式有意义当分式的分母为零时，分式无意义 （3） 分式的值为零的条件分式的值为零的条件 (1)分母的值不等于零(即使得分式有意义)； (2)分子的值等于零 （4） 分式的基本性质分式的基本性质 基本性质：分式的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变

21、 3.例题巧解点拨例题巧解点拨 一一.考查分式定义考查分式定义 例例 1 下列各式，哪些是整式，哪些是分式? ， x 1 3 a yx x a ab 2 2 x x 1x )( 4 1 yx)( 1 ba y ba baba 22 2 针对练习针对练习 1: 下列各有理式中，哪些是整式，哪些是分式？ 3 ba 8 1 y2 3 1x 1x 2 x x 1 2 ， 二二.考查分式有意义、无意义和值为零的条件考查分式有意义、无意义和值为零的条件 例例 2 （1）当 x 为何值时，分式有意义？ 1|x| 2 （2）当 x 为何值时，分式的值为零？ 1x 1x 2 (3)m 取什么值时，分式的值是正整

22、数？ 1 72 m m 针对练习针对练习: 已知，x 取哪些值时， x32 x y 2 （1）y 的值等于零？（2）分式无意义？（3）y 的值是正数？（4）y 的值是负数？ 例例 3 若分式不论 m 取任何数总有意义，则 m 的取值范围是（ ） mx2x 1 2 Am1； Bm1； Cm1； Dm1。 【典型考题典型考题】 1.根据要求，解下列各题： (1)x 为何值时，分式无意义? 32 2 x x . .; (2)x 为何值时，分式有意义? x x 1 1 12 三、考查分式的基本性质三、考查分式的基本性质 例例 4 填出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； 22 )( yx

23、yx yx )( 2 ba ab aba 例例 5 不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母的系数都化为整数 (1)； (2) yx yx 3 1 5 1 2 1 3 1 yx yx 07 . 0 4 . 0 25 . 0 3 . 0 针对练习针对练习: 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数 (1)； (2) 2 2 54 132 xx xx 2 2 43 65 xx xx 例例 6.把分式(x0，y0)中的分子、分母的 x，y 同时扩大 2 倍，那么分式的值 yx x () A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C改变 D不改变 约分与最简分式约分与最简分式 6.下列各式中

24、最简分式是 （ ） A B C D ab ba 33 22 yx yx m m a a 2 2 3 2 1 1 x xx 7. 把下列各分式约分： （1） （2） （3） 5 32 16 4 abc bca cdb cba 2 32 24 32 62 23 2 4 nm nm （4） （5） （6） 22 35 48 16 ca cba )( )(2 32 xya yxa bb bb 2 24 （7） （8） （9） xx x 5 25 2 2 2 2 9 3 m mm 6 34 2 2 aa aa 8. 化简求值：，其中， 22 22 22 484 ba baba 2a3b 通分与最简公分母

25、通分与最简公分母 9. 指出下列各组分式的最简公分母。 . .; （1），； （2），； （3）， 1 ab 2 bc 2 1 ac 1 2xy 2 3 x y 3 5 9x y 1 1a x 1 1b x （4）； （5） 11 , 222 2xxx 2 11 , 442xx 10. 通分： （1） ； （2）； 32234 111 , x yx yxy 2 1 , 234 yx xyxy （3）， （4）， 2 3 1 abba 2 7 2 xx x 2 1 xx x 2 1 （5） （6） 2 1 , 21 x xxx 2 1 , 442 x xx 拓展与提高 例例 13 已知，求的值4

26、 1 2 x x 2 2 1 x x 例例 14 如果，求证：xyz ac z cb y ba x 例例 15 设(a，b，c，d0)，求证： d c b a 2003 2003 20032003 20032003 )( )( dc ba dc ba 例例 16 已知，求的值5 11 yxyxyx yxyx 2 232 分式的计算 （一） 分式的乘除 1. （1） （2） （3） a b b a 12 25 5 4 2 3 2 2 23 3 42 y xz y zx 3 22 5 4 2n m m n （4） （5） （6） xx y2 7 yx yx1 3 2 yx a xy 2 8 5 12 . .; （7） （8） )4( 3 ) 9 8 ( 2 3 23 2 b x ba xy yx ab ) 6 ( 4 3 8 2 6 42 z yx y x yx （9） （10） 23 3 34 4 22 2 aa a aa a )3( 2 96 2 x x xx （11） （12）