高考试题分类大全之解析几何和圆锥曲线文科解析版

1、2017年高考试题分类汇编之解析几何（文）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （2017课表I文）已知F是双曲线C ：x22 1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点3A的坐标是（1,3），贝y aPF的面积为（2【解答】解：由双曲线C: X2. （2017课标II文）若a 1，则双曲线笃a【分析】利用双曲线方程，求出a, c然后求解双曲线的离心率的范围即可.【解答】解：a 1,则双曲线巨;-y2=1的离心率为：手空店壬（ 1,db.故选：C.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.2 2X y3. （2017浙江）椭圆一丄 1的离心率是（

2、94【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.- 2【解答】解：椭圆专+亍1,可得a=3, b=2,则C详砸，-匚=1的右焦点F （2, 0）,JPF与x轴垂直，设（2, y）, y 0,则y=3, 则 P (2, 3),I =3,丨PF丨爷， AP PF,则丨 API =1,1 PF APF的面积 S丄X| AP |X2同理当y V 0时，则APF的面积故选D.【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,考查数形结合思想，属于基础题.29y21的离心率的取值范围是（【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.4.- （2017课标II文）过抛物线C： y2 4x的焦点F，且斜率为43的直线交

3、C于点M （ M在x轴上方），I为C的准线，点N在I上且MN I ,则M到直线NF的距离为（【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：抛物线C: y2=4x的焦点F （1, 0），且斜率为的直线：Y毛 （x - 1），过抛物线C: y=4x的焦点F,且斜率为（5的直线交C于点M（ M在x轴上方），I2，解得M（3,師）.可知:y.y=V3（K-l）可得N （- 1,），NF的方程为：y=- （x - 1），即頂时用二0, 则M到直线NF的距离为.I奶W I =.故选：C.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力.2 25. （

4、2017课标I文）设A,B是椭圆C： 乂 1长轴的两个端点，若 C上存在点M满足3 mAMB 1200，则m的取值范围是（【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足/ AMB=120 , / AMR 120, / AM060, 当假设椭圆的焦点在x轴上，tan / AMdtan60 ,当即可求得椭圆的焦点在y轴上时,V in3, tan / AMOtan60 二體，即可求得m的取值范围.【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0Vmtan60 解得：0V me 1;当椭圆的焦点在y轴上时，m3,假设M位于短轴的端点时，/ AMB取最大值，要使椭圆 / AMR 120,/ AMR60, tan

5、/ AM疇Rtan60 m的取值范围是（0, 1 U 9 , +x）故选A.【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题.2 26. （2017课标111 知椭圆C:41（3 b 0），的左、右顶点分别为AiA，且以线段朋2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0相切，则C的离心率为（【分析】 以线段 AiA为直径的圆与直线 bx - ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离諺話a，化简即可得出.【解答】解：以线段AA为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切, 原点到直线的距离J為b =a，化为：a解得a=1, bW3，

6、双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： 討二二1L?故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）=3b2.椭圆C的离心率e= h丄卫5.3 r “2 3故选：A.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2 27.（ 2017天津文）已知双曲线 务 每 1（a 0,b 0）的左焦点为F ,点A在双曲线的渐近线上，OAFa b是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（【分析】【解答】2 2解：双曲线务-艺a? b，=1 （a0，b0）的右焦点

7、为F,点A在双曲线的渐近线上,利用三角形是正三角形，推出 a, b关系，通过c=2,求解a, b,然后等到双曲线的方程. OAF是边长为2的等边三角形（0为原点），可得c=2卡吨,即才,2 2 C -a 宀 2=5, a8.(2017天津文)设抛物线 寸4X的焦点为F ,准线为I.已知点C在I上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点 A.若 FAC 120，则圆的方程为【分析】根据题意可得F (- 1 , 0), / FAO=30 , OA=1 ,由此求得OA的值,可tanZFAO得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆 C方程.【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F (1 , 0),准线l

8、: x=- 1, V点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点 A,V/ FAC=120 ,/ FAO=30，二 OA=1oa旳,a A (0 , Vs),如图所tanZFAO 73示:二C (- 1, (5),圆的半径为CA=1故要求的圆的标准方程为 G+1 F+Wr勺, 故答案为：(X+1) 2+yW)2 = 1.【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题.29.( 2017北京文)若双曲线 X2 y 1的离心率为 V3, 则实数mm【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解 m即可.【解答】解：双曲线X2-=1 (0)的离心率为(W,可得：平出解得

9、m=2 故答案为：2.2占 1(a0, b 0)的右支与焦点为F的b【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力.2 X 10. (2017山东文)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 飞a抛物线X2 2p y(p 0)交于A, B两点，若I AF| |bf| 4of| ,则该双曲线的渐近线方程为2 2【分析】把 x2=2py (p0)代入双曲线耳三7=1 (a0, b0),可得：a2y2- 2pb2y+a2b2=0,利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出.2 2=1 (a0, b0),【解答】解：把x2=2py(P0)代入双曲线务丿$ a b可得：a2y2 - 2pb2y+a2b2

10、=0, yA+yB=2p2，|AF|+|BF|=4|OF| ， yA+yB+2X里=4xP，平P，a-=.a 2该双曲线的渐近线方程为：y=导.故答案为：y=乎X.【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2 2 311. (2017课标III文)双曲线 务 丄 1 (a 0)的一条渐近线方程为 y 3X，则a a 95【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解 a即可.2 .2【解答】解：双曲线与V1 (a0)的一条渐近线方程为 琨可得色解得a=5.a 5故答案为：5.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考

11、查计算能力.212. ( 2017江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线 y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点3P, Q其焦点是Fi,F2,则四边形F1PF2Q的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P, Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积.【解答】解：双曲线斗-y2=1的右准线：X专，双曲线渐近线方程为：y=萼X， 李，Q(号，-导，F1 (-2, 0). F2 (2, 0).所以P (鲁,故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.C CLLU ULU13. ( 2O17江苏)在平面直角坐标系xOy中，A( 12,O), B(O,6),点

12、P在圆O: x2 y 5O上，若PA PB 2O, 则点P的横坐标的取值范围是【分析】根据题意，设P（xo, yo）,由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2xo+yo+50,分 析可得其表示表示直线2x+y+5W O以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案.【解答】解：根据题意，设P（ Xo，yo），则有Xo2+yo2=5O,药 吓8= (- 12- Xo,- yo) ? (- Xo, 6- yo) = (12+Xo) Xo - yo (6- yo) =12xo+6y+xo2+yo2w 2O,化为：12xo - 6yo+3OW 0,即2xo- yo+5 0,

13、表示直线2x - y+5=0以及直线上方的区域，92,解可得Xo=- 5或Xo=1,联立不D十y严Q2 切-二 0结合图形分析可得：点P的横坐标X0的取值范围是-蚯,1, 故答案为：-5血,1.【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到 关于Xo、yo的关系式.三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）214. （ 2017课标I文）设A, B为曲线C : y 上两点，A与B的横坐标之和为4 4（1）求直线AB的斜率;（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线 AB平行，且AM BM，求直线 AB的方程.2 2【分析】（1）设A （X1,工

14、一），B （X2,）,运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到44所求;（2）设 M（m2），求出y=专-的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1,可得xi, X2的关系式,2再由直线AB: y=x+t与y冷-联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程.2 2【解答】解：(1)设A(X1，工)B (X2,竺)为曲线442C:上两点,42 2 瓦1工2则直线AB的斜率为k (X1+X2) X 4=1;442(2)设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C: y_ ,4 可得 X2- 4x- 4t=0，即

15、有 X1+X2=4, X1X2=- 4t ,21再由y壬的导数为y二丄X,4221设M (m ),可得M处切线的斜率为42由C在M处的切线与直线AB平行，可得km=1,2解得 m=2 即 M(2, 1),由 AMI BM可得，kAM?kBF 1,2工即为4?-i童一2工2 _22=-1,化为 X1X2+2 (Xl+X2)+20=0,即为-4t+8+20=0, 解得t=7 .则直线AB的方程为y=X+7.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达 定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题.X2215. ( 2017课标II文)设O为

16、坐标原点，动点 M在椭圆C： y21上，过M作X轴的垂线，垂足2为N，点P 满足 NP.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线X 3上，且OP PQ 1.证明：过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F .【分析】(1)设M(X0, y。)，由题意可得N (X0, 0),设P (X, y),运用向量的坐标运算, 结合M满足椭圆方程，化简整理可得 P的轨迹方程；(2)设Q (- 3, m , P(Mcos a , V2 sin a) , ( 0a 2n),运用向量的数量积的坐标 表示，可得m即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ PF的斜率，由两直线垂 直的条件：向量数量积为0 ,即可

17、得证.【解答】解：(1)设M( Xo, yo),由题意可得N( Xo, 0),(X, y),由点P满足丽卫丽.可得可得(X- X0, y) 2 (0, y。),X- X0=0, yWy。，即有X0=x , y。,2 2代入椭圆方程 亍+y2=1 ,可得即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;(2)证明：设 Q (- 3 , m , P (逅 cos a ,血 sin a) , (0a 2n),0P?PQ=1,可得(VCOSa,Vssi n a) ? (- 3-伍 cos a , m-近 sin a) =1 ,即为-3应cos a - 2cos2 a 2msin a - 2sin 2 a =1 ,

18、当a =0时,上式不成立,贝U 0a0),由题意可得D=m F=- 2,代入(0 , 1),可得E=1 ,再令x=0 ,即可得到圆在y轴的交点,进而得到弦长为定 值.【解答】解：(1)曲线y=x2+mx- 2与x轴交于A B两点，可设 A (xi, 0) , B (X2, 0),由韦达定理可得xiX2= - 2,0-疋O-Kg即为X1X2=- 1这与X1X2=- 2矛盾,故不出现AC丄BC的情况；(2)证明：设过 A B C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(tf+E-4F0), 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与 x2+mx- 2=0等价，可得 D=m F=- 2 ,圆的方

19、程即为x2+y2+mx+Ey- 2=0,由圆过 C (0 , 1),可得 0+1+0+E- 2=0,可得 E=1,则圆的方程即为x2+y2+mx+y- 2=0 , 另解：设过A B、C三点的圆在y轴上的交点为H (0, d),则由相交弦定理可得|OA|?|OB|=|OC|?|OH| , 即有 2=|OH|,再令 x=0,可得 y2+y-2=0,解得y=1或-2.即有圆与y轴的交点为(0 , 1), (0, - 2),则过AB C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3.【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定17. (2017山东文)在平”面直角坐标系xOy中

20、，已知椭圆C:笃 占 1(a b 0)的离心率为,椭a b2圆C截直线y 1所得线段的长度为2j2.(I)求椭圆C的方程;(n)动直线1： y kx m(m 0)交椭圆C于A, B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE,DF与圆N分别相切于点E,F，求 EDF的最小值.【分析】(I)首先根据题中信息可得椭圆 C过点(, 1),然后结合离心率可得椭圆方程;(n)可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得坐标及ON半径，进而将DN长度表示出来，可求/2，【解答】解：(I)T椭圆C的离心率为.宀2 = 1, a2=2b2,/

21、 2椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2逅,椭圆C过点(Vs, 1),丄+ 丄=1, b2=2, a2=4,2 2椭圆C的方程为亍才1.D N(n)设A, B的横坐标为X1, X2,则 A(X1, kx1+m, B(X2, kx2+m), 0(、，y(屮兀?)+m,f 22尸ki十；m,4kinX1+X2=,l+2kD/ 2kirim 、(,),l+2kl+2k M(0, m ,则 N (0 , m),联立可得(1+2k2) x2+4kmx+2mr 4=0,N的半径为|m| ,设/ EDFa,-sin g -EN_DN =1+2k2令y=以 则y,当k=0时，sin卫二取得最小值，最小值为丄.

22、2 2/ EDF的最小值是60.【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求解.218.( 2017天津文)已知椭圆y冷 1(a b 0)的左焦点为F( c,0)，右顶点为A，点E的坐标为b(0,c)， EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE 上,|FQ|牛，延长线段FQ与椭圆交于点p，点M，N在X轴上，pM QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.(ii )求椭圆的方程.(i )求直线FP的斜率;1 .2【分析】(I)设椭圆的离心率为e.通过二(拌韵沪丄.转化求解椭圆的离心率.(n) (i)依题意，设直线FP的方程为

23、x-my- c (m 0)，则直线FP的斜率为W.通过a-2c，c3丈rrri2 rrH-2).利用|FQ|誥，求m可得直线AE的方程为丄二1，求解点Q的坐标为(2c C出m然后求解直线FP的斜率.(ii )求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立通过iFPl彳(匚+匚)2+(夢年，结合直线PM和QN都垂直于直线FP.结合四边形PQN啲面积为3c，求解C,然后求椭圆的方程.【解答】解：(I)设椭圆的离心率为e.由已知，可得 霏心*孚.又由b2=a- c2，可得2c2+ac- a2=0，即卩 2e2+e- 1=0.又因为 Ov ev 1，解得 于斗.所以，

24、椭圆的离心率为寺;(n) (i)依题意，设直线FP的方程为x=my- c (m 0),则直线FP的斜率为i .ID由(I)知a=2c,可得直线AE的方程为旦岸二I2c C，即点Q的坐标为也血L,基 rn+2时2可解得由已知|FQ|=,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,(Snr 2) C十 3cX- 昭3 於2坐，有(加-2)c ”2斗(_)，二(韭)2，整理得3m- 4m=0所以 2nr+ZirtH2 2线FP的斜率为色.4(ii )解：由a=2c,可得b=V3c,故椭圆方程可以表示为3it-4y+3c=0由(i )得直线FP的方程为3x- 4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y，整理

25、得7x2+6cx2 2 亠+匚T?十 2 -丄3c-13c2=0 ,解得 X二(舍去)，或x=c .因此可得点昔),进而可得IFPI彳管/年，所以 |PQh|FP|-|F(5| =子9由已知，线段陀的长即为PMI与QN这两条平行直线间的距离，故直线 PM和QN都垂直于直线 砸|二|血1也心14竽詣考，所2 2丄IFQIIQNI竺J，同理？十FPM的面积等于空J,由四边形2 2号-毛-二北,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.因为QN丄FP ,所以FP.以？ - FQN的面积为PQNM的面积为 3c,得19. ( 2017北京文)已知椭圆(2)点D为x轴上一点，过于点E，求证：BDE与BDN的

26、面积之比为4:5.【分析】(I)由题意设椭圆方程，由 a=2,根据椭圆的离心率公式，即可求得 C,则b 2所以，椭圆的方程为話+誇=1.【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以 及计算能力.C的两个顶点分别为 A( 2,0), B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为 也2(1)求椭圆C的方程;D作x轴的垂线交椭圆 C于不同的两点 M ,N，过D作AM的垂线交BN=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；(n)由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得 E点坐标，根据三角形的相似斟愛，因此可得 BDEg BDN的面积之比为4： 5关系，即可求得【解答】解

27、：(I)由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程:2 2(a b 0),a b贝 U a=2, e=，贝U,a 2.2 2 2 .b =a c =1,1;(n)证明：设 D (X0, 0), (- 20,2由M N在椭圆上，则 护+血二1,则xo2=4 4yo2,川-0=坯，直线DE的斜率则直线AM的斜率直线DE的方程：y=-泌三(X xo),直线BN的斜率kB总直线BN的方程y皋(X-2),辺+3沟些，解得：*Ck-2)I 过 E做 EHLX轴， BHEA BDN贝EH I竺P,5则竺丄旦则而丁 5，: BDE与 BDN的面积之比为4: 5.【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的

28、位置关系，直线的斜率公 式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题.2七1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1, b且位于第一象限，过点Fi作直线PFi的垂22o. ( 2oi7江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:牛a1F2,离心率为,两准线之间的距离为 8.点P在椭圆E 上,2线ll ,过点F2作直线PF2的垂线12 .(1)求椭圆E的标准方程;【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得(2)若直线E的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.2 2 a=2c，由椭圆的准线方程x=也，贝U 2X3 =8CC即可求得椭圆方程；(2)设P点坐标，分别求得直线PE的斜率及直线PF的斜率，则即

29、可求得I 2及I 1的斜率及 方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得yo2=xo2 - 1,联立即可求得P点坐标；即可求得a和c的值，贝U b2=a2- c2=3.方法二：设P( m n),当m# 1时，k”宀，求得直线l1及l1的方程，联立m-1% Itr+l2 1求得Q点坐标，根据对称性可得 dLn= n2,联立椭圆方程，即可求得 P点坐标.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e= a弓，则a=2c，2 2椭圆的准线方程x=二，由2xA.c由解得：a=2,则 b2=a2 - c2=3,Cc=1,=8,椭圆的标准方程:(2)方法一：设P(X0, y。)，则直线PH的斜率H则直线l

30、2的斜率k2=-，直线l2的方程y=-Xn -L( x - 1),yo02直线pf的斜率k则直线I 2的斜率kl=-屯卫，直线I 1的方程y=毗+1(x+1)，联立由P,Kn-1FoKn+l尸一m，解得:9K。-1，则 Q (- Xo, y=Q在椭圆上，P, Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则金1yo 2 2虫+乩1尤二舟1又P在第一象限，所以P (叭腔7 _方法二：设，解得:r 2 16J ,则p的坐标为：玄讦土F廿土P(m n),由P在第一象限，则 m0, n0,当m=1时,kp.不存在，解得：Q与 Fi重合，不满足题意,P% m-l昨F而，nrH = m-l=，虹厂T由 I 1 丄 P F, |2 丄 PE,贝 U k=直线11的方程y=-吐L (x+1),直线l 2的方程ny二-啤(x 1),n 2