2014挑战中考压轴题之函数图象中点的存在性问题

1、 函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P、D、B三点作Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于F，连结EF、BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时求证：BDEADP；设DEx，DFy，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出

2、此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由 图1 答案（1）直线AB的函数解析式为yx4（2）如图2，BDECDEADP；如图3，ADPDEPDPE，如图4，BDEDBPA，因为DEPDBP，所以DPEA45所以DFEDPE45因此DEF是等腰直角三角形于是得到图2 图3 图4（3）如图5，当BDBF21时，P(2,2)思路如下：由DMBBNF，知设OD2m，FNm，由DEEF，可得2m24m解得因此再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)如图6，当BDBF12时，P(8,4)思路同上图5 图6例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在RtABC中，C90，AC6，B的半径长为1，B交边CB

3、于点P，点O是边AB上的动点（1）如图1，将B绕点P旋转180得到M，请判断M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域图1 图2 图3思路点拨1B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱2分三种情况探究等腰OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单3探求y关于x的函数关系式，作OBN的边OB上的高，把OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形满分解答（1） 在RtABC中，AC6，所以AB10，

4、BC8过点M作MDAB，垂足为D在RtBMD中，BM2，所以因此MDMP，M与直线AB相离 图4（2）如图4，MOMDMP，因此不存在MOMP的情况如图5，当PMPO时，又因为PBPO，因此BOM是直角三角形在RtBOM中，BM2，所以此时如图6，当OMOP时，设底边MP对应的高为OE在RtBOE中，BE，所以此时图5 图6（3）如图7，过点N作NFAB，垂足为F联结ON当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ONxy在RtBNF中，BNy，所以，在RtONF中，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到整理，得定义域为0x5图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在RtBMF中，BM2，

5、在RtOMF中，OF，所以在RtBPQ中，BP1，在RtOPQ中，OF，所以当MOMP1时，方程没有实数根当POPM1时，解方程，可得当OMOP时，解方程，可得例3 2012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，OMNOBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 图1答案 （1）当M、N都在O右侧时，所以因此MN与AB不平行（

6、2）如图2，当M、N都在O右侧时，OMNB，不可能OMNOBA如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA如图4，当M、N都在O左侧时，如果OMNOBA，那么所以解得t2图2 图3 图4（3）如图2，如图3，如图4，综合、，s所以当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米例4 2011年上海市中考第25题在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设APx，BNy，

7、求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长图1 图2 备用图思路点拨1本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐反复解直角三角形，注意对应关系2备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中3第（3）题当E在BC上时，重新设BPm可以使得运算简便一些满分解答（1）在RtABC中，BC30，AB50，所以AC40，在RtACP中，在RtCMP中，因为，所以（2）在RtAEP中，在RtEMP中，因为，所以因此，已知EMEN，PEAB，所以MPNP于是定义域为0x32（3）如图3，当E在AC上时

8、，由，得解得xAP22如图4，当E在BC上时，设BPm，那么AP50m在RtBEP中，在RtEMP中，所以，这时由，得解得mBP8所以AP50m42图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题没有条件“AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，EAMEBN，此时PE垂直平分AB，AP252.2 由面积产生的函数关系问题 例1 2013年菏泽市中考第21题如图1， ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b、c的值，并写出

9、该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，由PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1 思路点拨1求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由ADBC可以得到2设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来3四边形PDCQ的面积最小，就是APQ的面积最大满分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C关于OA对称，所以B(4,0)，BC8因为AD/BC，ADBC，所以D(8,3)将B(4,0)、D(8,3)

10、分别代入，得解得，c3所以该二次函数的解析式为（2）设点P、Q运动的时间为t如图2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO当PQAC时，所以解得图2 图3如图3，过点Q作QHAD，垂足为H由于SAPQ，SACD，所以S四边形PDCQSACDSAPQ所以当AP时，四边形PDCQ的最小值是考点伸展如果把第（2）题改为“当P运动到何处时，APQ是直角三角形？”除了PQAC这种情况，还有QPAD的情况这时，所以解得（如图4所示）图4例2 2012年广东省中考第22题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿

11、x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）图1思路点拨1ADE与ACB相似，面积比等于对应边的比的平方2CDE与ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比满分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如图2，因为DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范围是0m9图2 图3（3）如图2，因为DE/CB，所以因为CDE

12、与ADE是同高三角形，所以所以当时，CDE的面积最大，最大值为此时E是AB的中点，如图3，作EHCB，垂足为H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，当E与BC相切时，所以考点伸展在本题中，CDE与BEC能否相似？如图2，虽然CEDBCE，但是BBCAECD，所以CDE与BEC不能相似例3 2012年河北省中考第26题如图1，图2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如图1，AHBC于点H，则AH_，AC_，ABC的面积SABC_拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F设BDx，AEm，CFn（当点D与点A重合时，我们认为SAB

13、D0）（1）用含x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)与x的函数关系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值图1 图2图3 图4答案 探究 AH12，AC15，SABC84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC边上的高，所以x的取值范围是x14所以(mn)的最大值为15，最小值为12（3）x的取值范围是x或13x14发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为例4

14、 2011年淮安市中考第28题如图1，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧设E、F运动的时间为t秒(t0)，正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为S （1）当t1时，正方形EFGH的边长是_；当t3时，正方形EFGH的边长是_；（2）当1t2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是

15、多少？图1思路点拨1全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工2这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择满分解答（1）当t1时，EF2；当t3时，EF4（2）如图1，当时，所以如图2，当时，于是，所以如图3，当时，所以图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t的临界时刻是这样求的：如图8，当H落在AC上时，由，得如图9，当G落在AC上时，由，得图8 图9例5 2011年山西省中考第26题如图

16、1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线OCB相交于点M当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t0），MPQ的面积为S（1）点C的坐标为_，直线l的解析式为_；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？图1思路点拨1用含有t的式子表

17、示线段的长，是解题的关键2第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况3第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐满分解答（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为（2）当M在OC上，Q在AB上时，在RtOPM中，OPt，所以在RtAQE中，AQ2t，所以于是因此当M在OC上，Q在BC上时，因为，所以因此当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得因此当M、Q都在BC上，相遇前，PM4，所以图2 图3 图4（3）当时，因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，所以当时，S最大，最大值为当时，因为抛物线开口向下，所以当时，S最大

18、，最大值为当时，因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14综上所述，当时，S最大，最大值为考点伸展第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？此时， 因此图5例6 2011年重庆市中考第26题如图1，矩形ABCD中，AB6，BC，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若