北京市石景山区古城高级中学2015年高三上学期期末考试数学试卷(理)-1

1、北京市石景山区古城高级中学2015 年高三上学期期末考试数学试卷（理）本试卷共 6 页，150 分 . 考试时长 120 分钟请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效 考试结束后上交答题卡 .第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 A1，0，1, 2 ， Bx x1 ，则 AB()A. 2B. 1, 2C.1, 2D.1,1, 22下列函数中，在(0,) 上单调递减的是（）A. f ( x)ln xB. f ( x)( x1)2C. f ( x)x3D. f ( x)1x1x13cos,开始

2、3点 (1,2) 与圆3sin的位置关系是（）yA. 点在圆内B.点在圆外k = 0C. 点在圆上D.与 的值有关S= 1004. 某程序框图如右图所示，该程序运行S 0否输出的 k 值是（）是A.4B.5C.6D.7S = S2k输出 kk k1结束5以 q 为公比的等比数列an 中， a10 ，则 “a1 a3 ”是 “q1”的（）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件xy30,6如果实数 x, y 满足不等式组x2 y 30, 目标函数 zkxy 的最大值为6，最小值为0，则x1.实数 k 的值为（）A.1B.2C.3D.47如图，网格纸上小

3、正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A. 22B.6C. 23D.38. 函数 f ( x) 的定义域为1,1 ，图象如图1 所示；函数 g(x) 的定义域为2,2，图象如图2 所示，方程 f ( g( x)0 有 m 个实数根，方程g( f ( x)0 有 n 个实数根，则 mn ()A.6B. 8C. 10D. 12yy11-1O1x-2-112 xO-1-1图 1图 2第二部分 （非选择题共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9若复数 Z1 1 i , Z2Z 23 i ,则Z110. a n 为等差数列，

4、 a11 ，公差 d0 ， a1 、 a2 、 a5 成等比数列，则 a20152 的菱形 ABCD 中 BADDEC11如图，在边长为60 ，E 为 CD 中点，则 AE BDAB12.若抛物线 y ax2 的焦点与双曲线y2x21的焦点重合，则a 的值为313. A , B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往 B 地，B则路程最短的走法有种（用数字作答）A14. 设 A 为非空实数集，若x, y A ，都有 x y, x y, xy A ，则称 A 为封闭集集合 A2 , 1 , 0 ,1 , 2 为封闭集；集合 A n | n 2k , kZ为封闭集；若集合 A1 , A2 为封闭集，

5、则A1 A2 为封闭集；若 A 为封闭集，则一定有0A .其中正确结论的序号是_.三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13 分）ABCD 中，AB DA ， CE7 ， ADC2如图所示，在四边形； E 为 AD 边上一3点， DE 1 ， EA 2 ，BEC.C3D（）求sin CED 的值；E（）求BE 的长AB16（本小题共13 分）某次数学考试共有8 道选择题， 每道选择题有4 个选项， 其中有且只有一个选项是正确的. 某考生有 4 道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2 个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.（）求该考

6、生8 道题全答对的概率；（） 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5 分，不选或选错得0 分”，求该考生所得分数的分布列.17（本小题共14 分）如图 , 在四面体ABCD 中 , AD平面 BCD , BCCD , AD2, BD22 . M 是 AD 的中点 , P 是 BM 的中点 .A（）求证：平面ABC平面 ADC ；MP（）若点 Q 在线段 AC 上，且满足AQ3QC ,QBD求证： PQ / 平面 BCD；C（）若BDC60 , 求二面角 CBMD 的大小 .18. （本小题共 13 分）已知函数f() ln2x2 (a且0).xx ax aR a（）若 x = 1是函数

7、y = f (x) 的极值点，求 a的值；（）求函数f ( x) 的单调区间 .19. （本小题共 14 分）已知椭圆 x2y21(a b 0) 的离心率为3 ，且过点 B(0 ，1) .a2b22（）求椭圆的标准方程；（）直线 l : yk (x2)交椭圆于 P、Q 两点，若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围 .20（本小题共13 分）对 于 数 集 X 1， x1， x2， ， xn ， 其 中0x1x2xn，n2， 定 义 向 量 集Y a | a(s,t), sX , tX ，若对任意a1Y ，存在a2Y ，使得a1a20 ，则称X 具有性质 P （）判断 （）

8、若 x1,1, 2 是否具有性质P ；2 ，且 1,1, 2 , x 具有性质P ，求x 的值；（）若X 具有性质 P ，求证：1X ，且当xn1 时，x11北京市石景山区古城高级中学2015 年高三上学期期末考试数学试卷（理）答案一、 共8 小 ，每小 5 分，共 40分 号12345678答案BDADBBDC二、填空 共6 小 ，每小 5 分，共 30分 号91011121314答案12i402911108【 12 只答一种情况得3 分】三、解答 共6 小 ，共 80分15（本小 共 13 分）（） CED.在CED 中，由余弦定理，得CE2CD 2DE 22CDDEcosCDE得 CD

9、2 CD 6 0，解得 CD 2(CD 3 舍去 )在 CED 中，由正弦定理，得sinCED217（）由 知（ ， ）cos270，所以732，所以而 AEB3cosAEBcos（ 2）=cos 2cossin 2sin333=1 cos3 sin127321222727在 RtEAB 中， BE247.cosAEB2 分4 分6 分8 分7. 11 分1413 分16（本小 共13 分）（） 考生8 道 全答 事件A ，依 意有11111P( A)244642（） 考生所得分数 X.3 分， X 的所有可能取 20,25,30,35,40 . 4 分P( XP( XP( X20)11339

10、，2244641113225)C2(2)(12)(4)12321130)（ 2） （ 4） +C2( 2 )11)2(133)3 ，C 2 (24) ( 48(1 1 ) C12( 3) （ 1） ( 1 )22442 6 分 8 分( 1 )2 = 114 32 10 分1111 211 2331 12分P( X35)C2 (2)(12)(4)C 2 (2)(14)(4)=8P( X40)164X 分布列 ：X2025303540P9311116483286413 分17（本小 共14 分）（） AD面BCD ,BC 面BCD ADBC 2 分BCCD 且 ADCDDBC面ACDBC面ABC

11、面ABC面 ACD4 分A（） 明：如 所示,取 BD 中点 O，且 P 是 BM 中点，M所以 PO / MD 且 PO1 MD ；2取 CD 的四等分点H，使 DH =3CH， 且 AQ =3QC,PQBDOC所以 ,PO / QH 且 POQH ，所以，四 形 OPQH 平行四 形，所以 PQ / OH ，且 OHBCD ,H所以 PQ/ 面 BDC.9 分(III) 如 建系 ,则 C( 0,0,0) , B(0,6 ,0) , M (2,0,1) , D (2,0,0) 面 CBM 的法向量 n(x, y, z)CB(0,6 ,0) , CM(2,0,1)n CB06 y0,即n C

12、M02 xz 0令 x1 ,则 n(1,0,2) 面 BMD 的法向量 m(x, y, z)BD(2 ,6,0) DM(0,0,1)m BD02 x6 y 0即m DM0z0令 y1, 则 m(3,1,0)10 分zAMPQxy BDC11 分12 分cosn, m12所以二面角 CBMD 的大小 6014 分18.（本小 共13 分）（）函数 f ( x) 的定 域 (0,) . 1 分f ( x) =- 2a2x2 + ax + 1 3 分1 + a - 2a2 x =x.x因 x =1 是函数 y =f ( x) 的极 点，所以f (1)= 1+ a -2a2= 0 . 5 分解得 a

13、= - 1 或 a = 1 .21 ， a = - 6 分或 a = 1 ， x = 1 是函数 y = f (x) 的极 点 .2（）由（）知：f ( x) =1+ a -2a2 x = - 2a2 x2 + ax + 1.xx由 a1 0，令 f ( x) =(2ax + 1)(-ax + 1)0 ，解得 x1 = -1, x2 =1x=2a. 9 分a当 a 0 ，f (x), f x 的 化情况如下表x(0, 1 )1( 1 ,)aaaf (x)+0-f ( x)极大 函数 yf (x) 的 增区 是(0, 1) ， 减区 是( 1 ,) ； 11 分aa当 a 0 ， f (x),

14、fx 的 化情况如下表x(0,1 )1(1,)2a2a2af (x)+0-f ( x)极大 函数 yf (x) 的 增区 是(0,1 )， 减区 是 (1, ) . 13 分2a2a19（本小 共14 分）b1ec3a2a2b1 ，（）由 意知，解得a 2b2c2c3 的 准方程 ：x2y21 . 4 分4（） P(x1, y1), Q( x2 , y2 )yk( x2)2222 立，消去 y ，得： (14)0.() 6 分x2y 24k) x16k x (16 k14依 意：直 l : yk( x2) 恒 点 (2,0) ，此点 的左 点，所以 x12， y10 - ，2由（ *）式， x

15、1x216k2- ，(14k)可得 y1y2k( x12)k( x22)k( x1x2 )4k - ， 8 分由， x228k 2， y24k 10 分14k 214k 2由点 B 在以 PQ 直径的 内，得PBQ 角或平角，即BP BQ0.BP（ 2， 1）， （，1）BP BQ2 x2y21 0. 12 分BQx2y2即 416k214k10，整理得 20k 24k3 0 .14k 24k2解得： k(3, 1 ) . 14 分10220（本小 共13 分）（） 1,1,2 具有性 P . 2 分（） 取a1(x,2)， Y 中与a1 垂直的元素必有形式1,b.所以x=2 b ，从而x=4 5 分（ III ） 明：取a1(x1, x1 )Y . 设 a2(s,t)Y 足a1a20 .由