北京市海淀区上庄第二中学2015年高三上学期期末模拟数学试卷(理)

1、北 京 市 海 淀 区 上 庄 第 二 中 学 2015年 高 三 上 学 期 期 末 模 拟 数 学 试 卷 （ 理 ）本试卷共4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分 。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。（ 1）抛物线 x22 y 的焦点坐标是（）（ A ） ( 1,0)（ B ） (1,0)（C） (0,1)（ D） (0, 1 )22（ 2）如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为yAz ，则复数 z21（）-2Ox（ A ） 3 4

2、i（ B ） 5 4i（C） 5 4i（ D） 3 4i（ 3）当向量 ac ( 2,2) ， b(1,0) 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（）（ A ） 5（ B ） 4（ C） 3（ D ） 2（ 4）已知直线 l1 : ax(a 2) y 1 0 ，l2 : xay 2 0 . 若 l1l 2 ，则实数 a 的值是（）（ A ） 0（ B ） 2 或 1（C） 0 或 3（ D ） 32xy20,（ 5）设不等式组 xy1 0, 表示的平面区域为D . 则区域 D 上的点到坐标原点的距离的xy1 0最小值是（）（ A ） 12（C）1（ B ）（D ） 522（ 6）某三棱锥

3、的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（）4正（主）视图侧（左）视图34俯视图（ A ） 234（ B ） 12（C） 83（ D） 62（ 7）某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：Vm3 ）与融化时间 t（单位： h ）近似满足函数关系： V (t)H (101 t )3 （ H 为常数），其10图象如图所示 . 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 v(m3/ h) . 那么瞬时融化速度等于 v(m 3/ h) 的时刻是图中的（）Ot1 t2t3 t4100 t（ A ） t1（ B） t2（ C） t3（ D） t4（ 8）已知点A 在曲线 P : y x2 ( x0)

4、上，A 过原点 O ，且与 y 轴的另一个交点为M .若线段OM,A和曲线P上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCDA, B,C , D（点顺时针排列） 是正方形， 则称点 A 为曲线 P 的“完美点” . 那么下列结论中正确的是（）（ A ）曲线 P 上不存在“完美点”（ B）曲线 P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1（ C）曲线 P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1 且小于 121（ D）曲线 P 上存在两个“完美点” ，其横坐标均大于2二、填空题共6 小题，每小题 5 分，共30 分。（ 9）在 (1x )6 的展开式中，常数项是.（用数字作答）x（ 10）在极坐标系中

5、，直线sin3被圆4sin截得的弦长为 _（ 11）若双曲线 x2 y21的一条渐近线的倾斜角为60 ，则 m.m（ 12 ） 如 图 所 示 ， AD 是O 的 切 线 ，A B2 , A C3，ACB， 那么B4CAD_.CO8D（ 13）在等比数列 a 中，若 a24 ，a4，则n19A公比 q_；当 n _时， an 的前 n项积最大 .（ 14）如图所示， 在正方体 ABCDA1 B1C1D1中，点 ED1C1是边 BC 的中点 . 动点 P 在直线 BD1 （除 B, D1A1B1两点）上运动的过程中，平面DEP 可能经过的该正方体的顶点是. （写出满足条件的所有顶点）DCEAB三

6、、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（ 15）（本小题满分13 分）函数 f ( x)cos( x)(0) 的部分图象如图所示 .2（）写出及图中 x0 的值；y（）设 g(x)f ( x)f ( x1) ，求函数 g( x) 在区332间 1 ,1 上的最大值和最小值 .23Ox0 x（ 16）（本小题满分13 分）某中学在高二年级开设大学先修课程线性代数，共有 50 名同学选修， 其中男同学 30名，女同学 20 名 . 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5 人进行考核 .（）求抽取的 5 人中男、女同学的人数；（）考核的

7、第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5 位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学间隔的人数为X ， X 的分布列为X3210Pab32105求数学期望 EX ；（）考核的第二轮是笔试：5 位同学的笔试成绩分别为115， 122， 105， 111， 109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125， 132， 115， 121， 119. 这 5 位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12 ， s22 ，试比较 s12 与 s22 的大小 . （只需写出结论）（ 17）（本小题满分14 分）如图所示，在三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AA1B1B 为正方形， BB1C1C 为菱形

8、，BB1C1 =60 ，平面 AA1B1B平面 BB1C1C .（）求证： B CAC ；CC111（）设点 E, F 分别是 BC,1 AA1 的中点，试判断直线EEF 与平面 ABC 的位置关系，并说明理由；（）求二面角 BAC1 C 的余弦值 .BB1AFA1（ 18）（本小题满分 13 分）已知椭圆 M : x2y21，点 F1 ， C 分别是椭圆 M 的左焦点、左顶点，过点F1 的直4 3线 l （不与 x 轴重合）交 M 于 A, B 两点 .（）求 M 的离心率及短轴长；（）是否存在直线l ，使得点程；若不存在，说明理由.B 在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方（

9、19）（本小题满分13 分）已知函数 f (x) a cos x x sin x ， x , .22（）判断函数f (x) 的奇偶性，并证明你的结论；（）求集合A x | f (x)0 中元素的个数；（）当 1a2时，问函数f ( x) 有多少个极值点？（只需写出结论）（ 20）（本小题满分14 分）已知集合 S a1 , a2 , a3 , an( n3) ，集合 T( x, y) | xS, yS, xy 且满足：,a j(,j1,2,3, ,j),(ai ,a j )T 与 (a j , ai ) T 恰有一个成立 . 对于 T 定aiS in i义dT ( a, b)1,(a,b)T,

10、0,(b, a)T ,lT (ai ) dT (ai , a1) dT (ai ,a2 )dT (ai , ai 1) dT ( ai , ai 1)dT (ai , an )（ i1,2,3, n ） .（）若 n4 ， (a1, a2 ),( a3 , a2 ),( a2 , a4 )T ，求 lT (a2 ) 的值及 lT (a4 ) 的最大值；（）从 lT (a1), lT ( a2 ), lT (an ) 中任意删去两个数，记剩下的n2 个数的和为 M . 求证： M1 n(n5)3 ；2（）对于满足 lT(a )n 1（ i1,2,3, n ）的每一个集合T，集合S中是否都存在i三

11、个不同的元素e, f , g ，使得 dT ( e,f )dT ( f , g) dT ( g,e) 3 恒成立，并说明理由 .北 京 市 海 淀 区 上 庄 第 二 中 学2015 年 高 三 上 学 期 期 末 模 拟 数 学 试 卷 （ 理 ） 答 案一、 （共8 小 ，每小 5 分，共40 分）（ 1） C（ 2）D（ 3）B（ 4） C（ 5） B（ 6）A（ 7）C（ 8）B二、填空 （共6 小 ，每小 5 分，共30 分。有两空的小 ，第一空2 分，第二空 3 分）（ 9） 15（ 10） 2 3（ 11） 3（ 12） 2（13） 1 ； 4（ 14） A1, B1 , D33

12、三、解答 （共6 小 ，共 80 分）（ 15）（共 13 分）解：（）的 是 2 分.65 5x0 的 是 .3分（）由 意可得：11sin x .f (x) cos( (x ) cos(x)33627 分所以1xf ( x) f (x ) cos(x) sin36sin x sincos x cossin x668 分3 cos x1 sin xsin x22333 cos(x 10 分cos xsin x) .223因 x 1 , 1 ，23 2所以.6x331所以 当 x0，即 x ， g( x) 取得最大 3 ；33当 x 213. 13 分33，即 x3 ， g( x) 取得最小

13、2（ 16）（共 13 分）解：（）抽取的5 人中男同学的人数 5303，女同学的人数 55020 2 .50 4 分（）由 意可得：P( X 3)A22 A331 6A55.10分因 a b32101，5所以1. 8 分b5所以EX312 113021. 10 分105105（） s12s22. 13 分（ 17）（共 14 分）CC1 明：（） 接 BC1 .在正方形 ABB1A1 中， AB BB1 .B1B因 为 平 面 AA1B1B平 面 BB1C1C ， 平 面AA1AA1 B1B平 面B B C C B B AB平 面11，1ABB1 A1 ，所以AB 平面 BB1C1C . 1

14、 分因 B1C 平面 BB1C1C ，所以AB B1C . 2 分在菱形 BB1C1C 中， BC1 B1C .因 BC1 平面 ABC1， AB 平面 ABC1 ， BC1AB = B ，所以B1C 平面 ABC1. 4 分因 AC1 平面 ABC1，所以B1CAC1 . 5 分（ ） EF 平面 ABC ，理由如下： 6 分取 BC 的中点 G ， 接 GE ,GA .因 E 是 B1C 的中点，CC 1所以GE BB1 ，且 GE = 1 BB1 .GE2因 F 是 AA1 的中点，所以AF = 1 AA1 .BB12AFA1在正方形 ABB1 A1 中， AA1 BB1 ， AA1 =

15、 BB1 .所以GE AF ，且 GE = AF .所以四 形 GEFA 平行四 形 .所以EF GA . 8 分因 EF ?平面ABC，GA ABC，平面所以EF 平面 ABC . 9 分（）在平面BB1C1C 内 点 B 作 Bz BB1 .由（）可知： AB 平面 BB1C1C . 以点 B 坐 原点， 分 以 BA, BB1 所在的直 x, y ，建立如 所示的空 直角坐 系B xyz， A(2,0,0) ， B1(0,2,0) .在菱形 BB1C1C 中，BB1C1=60，所以C(0, 1, 3) ， C1 (0,1,3) . 平面 ACC1 的一个法向量 n(x, y,1) .zn

16、 AC0, 即 ( x, y,1)CC1因 (2, 1,3) 0,n CC10( x, y,1)(0, 2,0)0,E3所以x2 ,即y0,n ( 3 ,0,1) . 2BB1yAFA1x 11 分由（）可知： CB1 是平面 ABC1 的一个法向量 . 12 分(3 ,0,1)(0,3,3)所以 cos n,CB1n CB127n CB1.397134所以 二面角 B AC17 14C 的余弦 .7分（ 18）（共 13分）解：（）由 x2y21得： a 2, b3 .43所以 椭圆 M 的短 2 3 . 2 分因 ca2b21 ，所以c11 4 分e2，即 M 的离心率 .a2（）由 意知

17、： C(2,0), F1 ( 1,0) ， B(x0 , y0 )( 2 x02)x02y02， 1 .43 7 分因 BF1 BC ( 1 x0 , y0 ) ( 2 x0 , y0 )2 3x0 x02y02 9 分1 x023x05 0 ， 114分所以B(0,) .2所以点 B 不在以 AC 直径的 上，即：不存在直 l ，使得点 B 在以 AC 直径的 上 . 13分另解：由 意可 直 l 的方程 xmy1， A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) .x2y21,可得： (3m24) y26my90 .由43xmy1所以 y1 y26m9 7 分3m2，y1 y23m2.

18、44所以 CA CB( x12, y1) (x22, y2 )( m2 1)y1 y2m( y1y2 ) 1( m21)9m6m413m243m25. 9 分3m204因 cosCA CB( 1,0)，CCACB所以C) . 11( ,2分所以B(0,) .2所以 点 B 不在以 AC 直径的 上，即：不存在直 l ，使得点 B 在以 AC 直径的 上 . 13 分（ 19）（共 13 分）解：（）函数 f ( x) 是偶函数， 明如下： 1 分 于x x 2 分, ， , .2222因 f (x)a cos( x)x sin(x) a cos x xsin xf ( x) ，所以f ( x)

19、 是偶函数 . 4 分（）当 a0 ，因 f ( x)a cos xx sin x 0， x , 恒成立，22所以 集合 A x | f ( x)0 中元素的个数 0. 5 分当 a0 ，令 f ( x) x sin x0 ，由 x 2, ，2得 x0.所以 集合 A x | f ( x)0 中元素的个数 1. 6 分当 a0 ，因 f ( x)a sin xsin xx cos x(1a)sin xx cos x 0, x (0, ) ，2 8 分所以 函数 f ( x) 是 0, 上的增函数 .2因 f (0)a0 ，0, f ( )22所以f (x) 在 (0,) 上只有一个零点 .2由

20、 f ( x) 是偶函数可知， 集合 A x | f ( x)0 中元素的个数 2. 10 分 上所述，当a0 ，集合A x | f ( x)0 中元素的个数 0 ；当 a 0 ，集合A x | f ( x)0 中元素的个数 1；当 a0 ，集合 A x | f ( x)0 中元素的个数 2.（）函数 f ( x) 有 3 个极 点 .13 分（ 20）（共 14 分）解：（）因 (a1, a2 ),( a3 , a2 ),( a2 , a4 )T ，所以dT ( a2 , a1 )0 ， dT (a2 ,a3 )0 ， dT ( a2 , a4 )1，故 lT (a2 )1.1 分因 (a2 ,a4)T，所以dT(a4 , a2 )0 .所以lT (a4 )dT (a4, a1 )dT(a4, a2 )dT(a4 , a3 )1012 .所以 当 ( a2 ,a4 ),( a4 , a1 ),( a4 , a3)T ，lT(a4 )取得最大 2 .3 分（）由dT (a,b) 的定 可知：dT( a, b)dT (b, a)1.n所以lT(ai ) dT(a1, a2 )dT (a2 , a1 )dT(a1, a3 )dT (a3, a1 )i 1 dT (a1, an )dT (an , a1 )dT (an 1, an )dT (an,