高三数学二轮专题四立体几何

1、教学内容专题四 立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积学习过程课堂笔记题型1几何体的三视图、表面积和体积核心知识储备1画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”2柱体、锥体、台体的侧面积公式3柱体、锥体、台体的体积公式4球体的体积公式典题试解寻法【典题1】(考查多面体的体积问题)如图81，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为() A64 B.C16 D.图81【典题2】(考查组合体的表面积问题)(2016全国卷)如图82，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18

2、C20 D28图82【典题3】(考查立体几何中的数学文化题)(2017武昌区模拟)(立体几何中的数学文化题)中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图83所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()图83A1.2 B1.6 C1.8 D2.4对点即时训练1正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图84)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为() 图84 2某几何体的三视图如图85所示，则该几何体的表面积为()图85A.1 B C.1 D1题型2球与几何体的切接问题

3、核心知识储备1多面体与球接、切问题求解策略（见山东高考）2球的切、接问题的常用结论（见山东高考）典题试解寻法A. B C. D【典题1】(考查与球有关的几何体的切、接问题)(2016南昌二模)一个几何体的A. BC. D三视图如图86所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为()图86【典题2】(考查与球有关的最值问题)(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4B C6 D对点即时训练1球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为4的正三角形，平面SAB平面A

4、BC，则三棱锥SABC的体积的最大值为()A. B C.D22如图87，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为6的等边三角形若AB4，则四面体ABCD外接球的表面积为_图87三年真题| 验收复习效果1(2017全国卷)某多面体的三视图如图88所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为() A10B12 C14D16图88A90 B63C42 D362(2017全国卷)如图89，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得

5、，则该几何体的体积为()图893(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B C.D4(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图810，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛 C36斛 D66斛图8105(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AO

6、B90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D2566(2017全国卷)如图811，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_. 图811教学内容专题四 立体几何第2讲 空间中的平行与垂直关系学习过程课堂笔记题型1空间位置关系的判断与证明核心知识储备1

7、直线、平面平行的判定及其性质（用符号语言默写出来）(1)线面平行的判定定理：(2)线面平行的性质定理：(3)面面平行的判定定理：(4)面面平行的性质定理：2直线、平面垂直的判定及其性质（用符号语言默写出来）(1)线面垂直的判定定理：(2)线面垂直的性质定理：(3)面面垂直的判定定理：(4)面面垂直的性质定理：典题试解寻法【典题1】(考查空间位置关系的判断)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【典题2】(考查空间位置关系的证明)如图91，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC

8、2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点图91(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积对点即时训练如图92所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD.图92(1)求证：平面PAB平面PCD；(2)求三棱锥DPBC的体积. 题型2平面图形的翻折问题核心知识储备翻折问题的注意事项(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结

9、构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是进行准确计算的基础典题试解寻法【典题】(2016全国卷)如图93，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.图93(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值对点即时训练如图94(1)，在四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在BC，AD上，EFAB，现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC，

10、如图94(2)图94(1)图94(2)(1)若BE1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥ACDF体积的最大值，并求此时二面角EACF的余弦值. 三年真题| 验收复习效果1(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为() A.BC.D2(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.BC.D3(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两

11、条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)4(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)5(2015全国卷)如图95，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是

12、平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.图95(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心补充练习：1(2017贵阳二模)如图96，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()图962已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的

13、体积取最大值时，其外接球的体积为_. 3.在平面四边形ABCD(图910(1)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC沿AB折起，构成如图910(2)所示的三棱锥CABD.图910(1)图910(2)(1)当CD时，求证：平面CAB平面DAB；(2)当ACBD时，求三棱锥CABD的高教学内容专题四 立体几何第3讲立体几何中的向量方法学习过程课堂笔记题型1向量法求线面角核心知识储备1两条异面直线的夹角2直线与平面的夹角典题试解寻法【典题】(2016全国卷)如图101，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M

14、为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 图101对点即时训练如图102，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.图102(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小题型2向量法求二面角(答题模板)利用向量法求二面角的大小是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替抽象的思维，给立体几何带来了鲜活的方法，此类问题建系是突破口，求解的关键是平面的法向量典题试解寻法【典题】(本小题满分12分)(2017全

15、国卷)如图103，四棱锥PABCD中，侧面且，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点图103(1)(2)点，且，. 对点即时训练(2017安徽马鞍山模拟)已知四棱锥PABCD中，如图104，底面ABCD是梯形，BC AD，ABAD，且ABBC1，AD2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PAPD.图104(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)若直线AC与PD所成角为60，求二面角APCD的余弦值. 题型3利用空间向量求解探索性问题核心知识储备立体几何中探索性问题的种类及其求法典题试解寻法【典题】如图105(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1，BC2，E为CD上一点，且DE1，EC2，现沿BE折叠使平面BCE平面ABED，F为BE的中点，如图105(2)图105(1)图105(2)(1)求证：AE平面BCE；(2)能否在边AB上找到一点P，使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由对点即时训练如图106，在五面体ABCDPE中，PD平面ABCD，ADCBAD90，F为棱PA的中点，PDBC，ABAD1，且四边形CDPE为平行四边形图106(1)判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，请求出