第七章 正则方程

1、第七章 正则方程 力学体系的哈密顿形式 （vs. 拉式形式 理论框架）,40.哈密顿方程,回顾拉氏量描述的理论形式 需要广义坐标、广义速度相应方程是2阶微分 now: 直接使用广义坐标、广义动量作为独立的变量 来表达运动方程：一阶！ (数学上，任意高阶的方程通过引入中间变量总可以变为 一阶，代价是独立变量增多，但是更统一！) 哈密度形式正是这样的思路 now： 具体如何实现(实现方式自然不唯一，我们需要一种统一的方式.),重要性质：,原则上，从广义动量定义出，可以反求出 代入上面！,注意：这三者是一代数关系(不保护额外微分关系)， 故它们之间的关系在运动过程中不变，也与初始条件无关！,用新变量

2、表示,正则方程，运动方程！,对比，既可得上面结果！,性质2,拉氏量时间平移不变，h守恒,性质or现在运动方程的表示,完全用罗斯函数表达的运动方程 (剩余那一个),体系的能量,罗斯函数的作用： 存在循环坐标时(即某些广义坐标相应的广义动量是常数!),如果q是循环坐标，l不显含q, 罗斯函数也不显含q, r只是 的函数.,此时，关于 的运动方程表达为,其中p为固定常数，和体系的初始状态有关，该方程与q无关! 退耦。另外一个可以直接求!,42. 泊松括号,已知函数,其中已定义,有,代入哈密顿方程,上面括号称为 泊松括号。,运动积分条件,不显含时间时，即要求,算符，对易，。,泊松括号的重要性质,任意两

3、个函数之间的泊松括号,特殊情况，如果f, g之一是广义坐标或广义动量，则,雅克比恒等式,证明：,1：直接代入：麻烦计算可得,2：方便技巧方法,左边，对f ,第一项只包含f的一阶微分，第二、三项包含 f的二阶微分，现在来看第二、三项对f的二阶贡献,设,则,d1，d2的一般形式(不包含2次微分形式),其中系数任意。由此,二、三项对f的2阶微分贡献为0,左边只有二阶微分贡献？,0,重要性质： 如果f, g是运动积分，则它们的泊松括号也是运动积分。 （注：表达成函数关系） 泊松定律,证明： 不显含时间，直接由雅克比恒等式可得，取h=h。,显含时间,由前面,0,43. 作为坐标函数的作用量,作用量,回顾

4、，最小作用量原理，2端点固定，求物理路径！ now: 固定初始位置，t2时刻通过不同位置q，这种 情况下相应的物理路径的作用量。函数关系,无穷小：路径和路径之间的作用量差，一个自由度,回顾最小作用量原理:是t1,t2时刻，q1,q2固定，作用量应取极值 now: q2变，路径为真实物理路径，则可得(多自由度),可得，这种情况下,同样可以研究t1时刻位置固定，不同时刻t经过不同位置q2 这样的 物理情况下，作用量关于时间t,q2函数的性质：,又,可得,再进一步：可以假设，初始时刻也变，初始点也变， 4个变量，真实物理路径相应的作用量,物理意义： 运动过程中，无论外部作用对体系如何，终点运动状态都

5、 不可能是初始状态的任意函数！ 只有右端表达式构成全微分的那些运动才有可能(注：任意 作用下)，于是，不管拉格朗日函数具体形式，最小作用量原理 给出了可能的运动集合的一定限制！,直接由最小作用量原理到哈密顿方程： 把坐标和动量作为独立变分的变量,1个自由度情况,(分部积分),0,真实的路径即满足,44.莫培督原理： (略) 仅确定运动轨迹，不确定轨迹关于时间的函数！ 对比：2体中心力时，第一个只确定r关于角度的关系 给出轨迹方程！,45. 正则变换,在广义坐标、广义动量 这2s个变量做变换下， 如果运动方程保持正则形式，这样的变换称为 正则变换！,设,要求,由此要求，则,要求被积核仅相差一时间

6、全微分，即,正则变换可由函数f描述，称为母函数,母函数是新、老广义坐标的给定函数,给出了新、老变量之间的关系，也给出哈密顿量之间关系,也可以用广义坐标、动量来表示母函数,改写,(新的母函数),其他2种变量表示情况,母函数不显含时时，此时，新老哈密顿量相等！ 注意：这里在变换下，为保持方程形式不变， 新哈密顿量并不是直接由老哈密顿直接用新变量代换而来 只在母函数不显含时间下，如此！,正则变量的广泛性,p, q正则共轭变量,重要性质,证明思路,46.刘维尔定理(略),相空间的概念: 即状态空间2s维,注：没时间轴,刘维尔定律内容 物理运动过程中，相空间某区域体积不随时间变化。 该体积在正则变换下也

7、不变！,47.哈密顿-雅可比方程,回忆：作用量作为坐标和时间的函数时，有,代入，有,称为哈密顿雅可比方程,作用目的: 给定h关于广义坐标动量的关系，可求出物理路径 所相应的作用量s, 等价于运动方程！ 这点容易想象：因为前面的关系都来自于最小作用量原理， 或物理路径所相应的作用量。 差别在于：表述的自变量不同，待求解的量也不同！ 但是之间都有等价关系。,哈密顿雅克比方程(一阶偏微分方程)的性质,解的普遍形式：,来源:方程中只含有s的微分形式,now: start playing game,problem: how from such solved s to q(t),自变量采用老坐标、新动量,

8、联系前面的正则变换，选取下列母函数,回忆,则有,f满足哈密顿-雅克比方程(因为就是解),则有,由此，新坐标，新动量：,又由正则变换关系,可用时间和2s个常数来求出s个坐标，于是求得解！,达到目的：知道s的解后，就可求出q(t).,应用哈密顿雅克比方程的思路:,1:根据哈密顿量形式写出哈密顿雅克比方程 2:求解哈密顿雅克比方程(即求出全积分,不是一般积分.) 3: 求解 代数方程组 得到坐标、动量关于 常数以及t 的关系。,注意：常数的数目和初始状态。,特例： 保守系统，哈密度量不显含时间时，可求得,代入，也有,48.分离变量,求解哈密顿雅克比方程的方法 回忆数学物理中的分离变量思想：一致！,情

9、况：假如一个坐标q和其相应的d/dq在方程中只以某种 组合出现，该组合不包含其他坐标和时间，即假如方程如： (其实即是：和其他变量脱离耦合，退耦),其中 qi不包含q1,则方程的解可写成如下,(和的形式分离 对比数学物理里面乘积的形式分离),代入,不包含q1,只包含q1,并且q1,qi独立变量！,只能,新的偏微分方程独立变量下降了！,1：完全变量分离： 所有的变量都可以分离的情况，全积分形式,2:体系有循环坐标时(h不显含某些变量),则也不显含在哈密顿雅克比方程中，此时,可求得,例子：,1：球坐标下的h形式：单粒子,problem：正则方程形式,哈密顿雅克比方程形式,注：这里面已经应用了h守恒

10、！,注意：上面形式不同变量之间脱离耦合,problem: why 球坐标？势能的形式相关,代入有,积分可得,对这几个常数求导结果，等于新的常数，既得到坐标、动量 关于时间的函数关系！ 常数由初始状态决定,求导结果,2：抛物线坐标,柱坐标到抛物线坐标的变换公式,引入,可得,拉氏量形式(柱坐标与抛物线坐标),广义动量：,哈密顿量,物理上感兴趣的势能形式,哈密顿雅克比方程,代入,积分可得,任意积分常数：,3：椭圆坐标,拉氏量形式 哈密顿量形式 哈密顿雅克比方程 分离变量、通解形式,解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？,粒子的拉格朗日函数为,（1）,广义动量,（2）,哈密顿函数,例

11、题,于是得正则方程,（3）,（4）,例2 写出粒子在等角速度转动参考系中的h函数和正则方程。,解：(取图7.3所示的转动参考系)。粒 子的l函数为,（1）,所以,回忆拉式量,则哈密顿函数,（4）,（3）式代入（4）式，得,（5）,正则方程为,（6）,将,代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程,例3 用正则变换法求平面谐振子的运动,，振,解：设振子沿x，y方向的动量为,动频率为,，哈密顿函数为,设母函数,由（7.19）式，得,（2）,将（3）式中的,及,表示代入（1）中，得,（4）,（5）,由（7.15）式，得,（6）,积分得,（7）,由（3）式得振子运动方程,（8）,7.5 解题指导,（1）

12、习题类型及基本解法,哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）,主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。,基本解法：将体系的拉格朗日函数l或哈密顿函数h代入相应的方程即得,体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：,补充, 分析体系约束类型，主动力性质； 确定自由度，选择适当的广义坐标； 正确写出体系的l函数和h函数； 将l或h代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可 得出体系的运动微分方程； 方程，出要求的量。, 范例,例1 用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。,解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2，以r，q为,广义坐标，拉格朗日函数为,代入哈密顿原理表达式，得,例2 用哈密顿雅可比方程解开普勒问题。,解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为,（1）,哈密顿函数,（2）,由,，代入（2）和（1）得哈密顿雅可比方程为,（3）,求出方程（3）的解，代入,（4）,可得,用,乘（3）式两边，并移项得,（5）,用分离变量法求解，令,（6）,将（6）代入（5）得,（7）,上式左边只是r的函数，右边只是的函数，要使其对任意的r、都成立，,只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用,来表示，由此可得,（8）,（9）,积分