数学不等式高考真题

1、数学不等式高考真题1.（208卷）设函数 f(x)=5|x+a|x2| （1）当 a=1时,求不等式 f(x)0 的解集； (2）若 f(x)1,求a 的取值范围 2.(203辽宁)已知函数f（x)=a|,其中1 (1)当a=2时，求不等式f(）4x|的解集； （)已知关于的不等式|f(2x+)2f（)|的解集x|1x，求a的值 .(21新课标）选修4-5:不等式选讲已知函数f（x)=1|x2|（)求不等式f(x）1的解集；（）若不等式f（)2x+m的解集非空,求m的取值范围. 4.（2017新课标）选修-5:不等式选讲已知0,b0，3+b3=2，证明：(）(a）（+5）4；（）a+b2 5.

2、（2017新课标卷）选修4-:不等式选讲已知函数(x）=x2+x+4，g(x）=x+1|x1|.（1分) （)当a=时,求不等式（x）g（x）的解集; （2）若不等式f（x）g(x)的解集包含,1，求a的取值范围. 6.（201新课标）选修4-5:不等式选讲已知0，0，a+b3=2,证明：(）（a+）（a5+）4;（）a+b2. .（01卷）已知 f(x)=|x+1|ax1| ()当 a=1时,求不等式f(x)1 的解集 （)若x(0,1)时，不等式f(x)x 成立,求 a的取值范围 8.(2018卷)已知f(）|+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)1的解集 (2)若x(,

3、1)时不等式f(x)x成立，求的取值范围 .(217新课标）选修：不等式选讲已知函数（)=|x1|x|. (1)求不等式()的解集; （2)若不等式f(x)2xm的解集非空,求的取值范围. 10(2014新课标i）设函数f(x）=|x 1a |+|xa|(a0）. (1)证明:f（）; ()若f（3)0,b0,c0,函数fx=x+a+x-b+c的最小值为4. （1）求a+b+c的值； （2)求14a2+19b2+c2的最小值. 1.（2014新课标i）若a0，b0，且 1a+ 1b = ab （1)求a3b3的最小值; （）是否存在a,b,使得2+3b=?并说明理由. 1.(207新课标）已知

4、函数f(）=lnxax2+(2a)x.(分） （)讨论f（)的单调性； (2)当a0时,证明(x)34a . 14.(2017新课标)已知函数f(x）=x1aln（)若 f（x)，求a的值；（）设m为整数,且对于任意正整数，(+ 12 )(1+122 ）（1+12n），求的最小值 5（0卷）设函数 f(x)=|2x+1|+|x1|(）画出 y=f(x) 的图像 （）当 x0,+) 时， f(x)ax+b ，求 a+b 的最小值。 16.（2013福建)设不等式|x|a（an*)的解集为a,且32a,12a （1)求的值 （2）求函数f(x）=|+a|+x2|的最小值 17.(13新课标）（选修

5、45：不等式选讲) 已知函数f（）=|21|+|2x+a|,g（x）=x+3 （)当a=时，求不等式f（)1，且当xa2,12) 时，（x)g（x),求a的取值范围. 18.（2016全国)选修5：不等式选讲已知函数f(x)= x- 12+12，m为不等式(x) 的解集. （1）求m; （2)证明：当a,bm时,a+b1a。 .（2016全国）选修4-5:不等式选讲已知函数(x）|2xa+a. (1）当=时，求不等式f()的解集; （2）设函数g（x）=2x1|,当时，f(x)+(x）3,求a的取值范围 2.（12新课标）已知函数f(x）=|xa|+|x2| （1)当a=3时,求不等式f(）的

6、解集; (2）若f(）x的解集包含1，,求a的取值范围 21.（2012辽宁）选修45:不等式选讲已知(x)=ax+1|（ar),不等式f(x）3的解集为x|x. （1)求a的值； (2）若 |f(x)2f(x2)|k恒成立,求k的取值范围 答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）a=1时，时，由 f（x）=62x,x22,1x24+2x,x1当x时,由f(x)0得:-x0，解得:x3；当-x时,（x)0;当x-1时,由f(x)0得:420,解得x-所以f(x)的解集为x|-x3（2)若(x）1，即 5|x+a|x2|1 恒成立也就是xr, |x+a|+|x2|4 恒成立|x+a|+|x2|a

7、+2|当x=2时取等,所以xr，|x+a|+|x2|4 等价于 |a+2|4解得：2或a-所以a的取值范围(,6 2，) 【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；(2）由绝对值几何意义转化易得.2【答案】(1）解:当a2时，f（x)4|可化为x2|+|x4|4， 当2时，得2x+4,解得x1；当2x4时，得24,无解;当x4时,得2x64,解得x；故不等式的解集为或x1（2)解：设h(x）(2x+）2（x）,则（x）=由|h()|2得 ，又已知关于x的不等式|(a)（x）2的解集x|x2,所以 ,故a=3. 【解析】【分析】（1）当a=2时,(x)44|可化为|x2+x44，直接求出不

8、等式|2|+|x|4的解集即可（2）设h(x）f(2x+a）2f（），则h(x）= 2a,x04x2a,0xa2a,xa由h（x）|2解得 a12xa+12 ，它与1x2等价,然后求出a的值3.【答案】解:（）f(x）=|+1x2 3，x2 ,f(x)1,当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时,31恒成立,故x2;综上,不等式f（x）1的解集为|x1（)原式等价于存在xr使得f(x)x+xm成立,即mf（x）x2+max, 设(x)f（x）+x由(1)知,g(x)= x2+x3，x1x2+3x1，1x2x2+x+3，x2 ，当x1时，g(x)=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为= 12

9、1,(x)g()=13=5;当1x2时，g（x）x+x1,其开口向下，对称轴方程为x= 32 （，2)，（x）g（ 32） 94 +92 1=54 ；当x2时，g（)x2+，其开口向下，对称轴方程为x 12，g(）(2）=4+2=3=1;综上，(）max=54 ,的取值范围为(, 54 【解析】【分析】(）由于f（x)=x1|x2|=3，x2 ,解不等式f（x)1可分1x与x2两类讨论即可解得不等式f()1的解集；（）依题意可得mf（x)x2+xmax ， 设g(）f（x)2+x，分1、1x2、x2三类讨论，可求得g（x)a= 54,从而可得m的取值范围.【答案】证明:（）由柯西不等式得:(a

10、b)（a5+b5)( aa5 +bb5 ）=（a3+b3)4,当且仅当 ab5 = ba5 ，即=b1时取等号，（)3b32，（+b）（a+2)=2，(ab)（ab）a=2,（a+b)3ab（b)2, (a+b)323(a+b) ab，由均值不等式可得： (a+b)323(a+b) =a( a+b2 )2 , (a+b）323(a+b)34 ,14 （a+b)3,b2,当且仅当a=b=1时等号成立 【解析】【分析】（）由柯西不等式即可证明,()由a3b3=2转化为(a+b)323(a+b)=,再由均值不等式可得:(a+b)323(a+b)ab( a+b2)2 ， 即可得到 14 (a+b）3,

11、问题得以证明.5.【答案】(）解：(）当a=1时，（x）=x2+x+4,是开口向下，对称轴为x=12 的二次函数，g（x)=|x+|+|x1|= 2x，x12，1x12x，x12，1x12x，x1、x1，1、（,1)三类讨论，结合g(x)与（x)的单调性质即可求得f(x)g(x）的解集为1, 1712 ；（2.)依题意得：x+a+4在1,1恒成立xx20在1，1恒成立,只需 12a120(1)2a(1)20,解之即可得a的取值范围.【答案】证明：（）由柯西不等式得:（a+b)（a55)（ aa5 + bb5 )2=(3+b)24,当且仅当 ab5 = ba5 ,即a=时取等号,（）a3+3=,

12、（a+b）（aab+2）=,(ab）(ab）3a=2，(a+b）33ab(+b）2,(a+b)323(a+b)=ab，由均值不等式可得: (a+b)323(a+b)ab(a+b2 )2 ，（a+b）32 3(a+b)34 ， 14 （a+b）3,a+b2,当且仅当a=b=1时等号成立【解析】【分析】（）由柯西不等式即可证明，（）由a3b32转化为 (a+b)323(a+b)=,再由均值不等式可得: (a+b)323(a+b) =b( a+b2)2 , 即可得到 14 (a+b)32，问题得以证明7.【答案】(1）解：当 a=1时, f(x)=|x+1|x1| ,即 f(x)=2,x1,2x,1

13、x1的解集为x|x12 .(）解：当x(0,1)时 |x+1|ax1|x 成立等价于当x(0,1) 时 |ax1|0 , |ax1|1的解集为 0x2a,所以 2a1 ,故 0a2.综上， a 的取值范围为(0,2 【解析】【分析】（1)通过对分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;()不等式恒成立等价于(x)-x0对于 x(0,1) 恒成立,即函数f（x)x的最小值大于0，由此求出a的范围.8.【答案】（1）解:当a=1时， f(x)2,x12x,1x12,x1当 x1 时，-21舍当 1x1 x12 x(12,1当 x1 时，21,成立,综上所述 f(x)1结果为 (12,+)(2)解:

14、x(0,1) f(x)=x+1|ax1|x|ax1|10ax0a0ax2 a(2x)min又 x(0,1)所以 a2综上所述 a(0,2 【解析】【分析】通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;（2）不等式恒成立等价于f(x)0对于 x(0,1)恒成立，即函数f()-x的最小值大于0，由此求出a的范围.9.【答案】(1)解:f（x）|x+1|x2|3，x2 ,f(x)，当1x2时,2x1，解得x2;当x2时，31恒成立,故x2；综上，不等式f(）的解集为|x(2）原式等价于存在xr使得f(x)2x成立,即mf（x）2+xm ， 设(x）f（x）x+x.由（1）知,g(x） x2+x3，

15、x1x2+3x1，1x2x2+x+3，x2,当1时,g(x)=x2+x3,其开口向下,对称轴方程为x= 12 1,（x）g（)1135;当12时,g（x)=x+31,其开口向下，对称轴方程为x=32(1，2），(x)g( 32 )=94 + 92 1=54 ;当x时,g(x）=+3,其开口向下，对称轴方程为x 12 2，g(）g(）=4+2=3=1;综上，（)max 54 ，m的取值范围为(，54.【解析】【分析】（1.）由于f（x)=|x+1|x23，x2 ，解不等式f(x）可分12与两类讨论即可解得不等式（x)的解集;（.）依题意可得(x)x2+xma , 设（x）f(）2+x,分x1、1

16、x2、x2三类讨论，可求得（x)ma= 54，从而可得m的取值范围.0.【答案】(1)解:证明：a，f(）=|x+ |+|（x+ )(xa)|=a+ |=a+ 2 =， 故不等式f（x)2成立（2）解:f()=| +|3a5, 当a3时，不等式即a+,即25a+10,解得3a .当0a3时，不等式即 6a5,即a1,求得a3综上可得，a的取值范围( , ） 【解析】【分析】(1）由a0，f(x）|x+ 1a |xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）成立（)由(3)=|3+ 1a |+|3a|5,分当3时和当00,b0，所以a+b=a+b,所以fx的最小值为a+b+c,所以a+b+

17、c=4. 2.由1知a+b+c=4，由柯西不等式得14a2+19b2+c24+9+1a22+b33+c12=a+b+c2=16，即14a2+19b2+c287d当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27时,等号成立所以14a2+19b2+c2的最小值为87.【分析】当x的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如fx=x+a+x+b的函数的最小值，以及解析式形如fx=x+a-x+b的函数的最小值和最大值,否则去绝对号,利用分段函数的图象求最值.利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征,以出现定值为目标.2【答案】(）解：a0，b0,且 =, = 2 ，ab2,

18、当且仅当a=b=时取等号3b32 2 4 ,当且仅当a=b 时取等号，a33的最小值为4.(2)解：a+b2=2 ，当且仅当a=3时,取等号. 而由(1)可知， 4 ，故不存在，使得a+3b成立 【解析】【分析】(）由条件利用基本不等式求得ab2，再利用基本不等式求得a33的最小值（2)根据 b4及基本不等式求的23b8,从而可得不存在a，b，使得2a+b=6.13【答案】(1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1)，求导f（) 1x +2ax(2a+1)= 2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x,(x0)，当=0时,f（x)= 1x +10恒成立,此时y=f（)在

19、(，+）上单调递增;当a0，由于0,所以(ax+1）(1）0恒成立,此时y=f（)在（0，+)上单调递增;当0时,令(x）=0,解得:= 12a.因为当（0, 12a )时,f（x)0、当( 12a ，+）时,（)0,所以y=f()在(0， 12a ）上单调递增、在( 12a ,+）上单调递减综上可知:当a0时f（x)在(0，+)上单调递增,当a0时,f（x)在(0,12a ）上单调递增、在( 12a ,+)上单调递减;（）证明：由(1）可知:当a时f（x)在(0, 12a )上单调递增、在（ 12a，)上单调递减,所以当x= 12a 时函数y=f()取最大值（）maxf（ 12a )= 14

20、a ln( 1a ）.从而要证f（x） 34a 2,即证f( 12a) 34a 2,即证1n 14a ln（1a)34a 2,即证12 ( 1a)n( 1a）1n2令t= 1a ,则,问题转化为证明: 12 +t1ln2（*)令g（)=12 t+lnt,则()= 12 + 1t ,令（t)=0可知t2,则当02时g(t)0，所以y=g()在（0，2)上单调递增、在（2，+）上单调递减,即g（t）g(2)= 12 2+ln21ln,即（*）式成立，所以当a0时,f(x）34a 2成立. 【解析】【分析】（1.)题干求导可知f(x）=(2ax+1)(x+1)x (x0）,分a0、0、a三种情况讨论

21、(x)与0的大小关系可得结论;（2.)通过（1)可知(x)max=f（ 12a）=1ln2 14a +ln（ 1a）,进而转化可知问题转化为证明：当t0时12 +lntl2进而令g(t)= 12 t+lnt，利用导数求出y=g（t)的最大值即可14.【答案】解：（)因为函数（x）=x1alx，x,所以(x)=1 ax = xax，且f（1)=0.所以当a时f（x）0恒成立,此时y=f(x)在（0，+)上单调递增,所以在(,1)上f(),这与（x）0矛盾;当a0时令f(x）=0,解得x=a,所以y=（）在(0，）上单调递减，在(,+）上单调递增,即f(x)in=f(a),又因为f(x)in=（）

22、0,所以=1；(）由（)可知当a=1时f（x）=x1ln0,即nxx1，所以ln（x+1)当且仅当0时取等号，所以n（1 12k ） 12k,k*,所以1+12ke12k ,k* . 一方面，因为 12+122+ 12n1 12n 1,所以,（1+ 12 )（1122 )（+ 12n ）2，同时当3时,(+ 12 )( 122 ）（1+ 12n ）(2,e）.因为m为整数，且对于任意正整数n(1+12)（1+ 122 )(1+ 12n)求导,分0、a0两种情况考虑导函数f（x)与0的大小关系可得结论；(）通过（）可知lnx1,进而取特殊值可知n(+ 12k ） 12k,k 一方面利用等比数列的

23、求和公式放缩可知（112)（1+ 122 )（1+ 12n ）e;另一方面可知(1 12 ）(1122）(+ 12n ）,且当n3时,（1 12)(1+ 122)（1+ 12n )(2,e).15.【答案】（1）解: f(x)=3x,x1(2）解：由（1）中可得:a，b,当a=3，b=2时，a取最小值，所以+的最小值为5. 【解析】【分析】（1)画图像,分段函数;（)转化为一次函数分析16.【答案】（1)解：因为 , 所以 且 ，解得 ,因为n* ,所以a的值为1(2）解：由(1）可知函数f(x）=|x+1|+|x2|()(x2）|3, 当且仅当（x+1）(x）0,即x2或1时取等号，所以函数f(x)的最小值为3. 【解析】【分析】(1）利用 32a,12a ，推出关于a的绝对值不等式,结合a为整数直接求a的值.(2)利用a的值化简函数(),利用绝对值三角不等式求出x+|+|x的最小值.17.【答案】(1)解：当a时,求不等式f（x）()化为|x1|+|2x2|x31，且当 时，f(x)=+,不等式