数学分析试题及答案

1、页眉（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题 ：（每小题5 分，共 15 分）1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件二 计算题 ：（每小题 7 分，共 35 分）1、9x3 1xdx12、求x2(yb) 2b2(0) 绕 x 轴旋转而成的几何体的体积a b3、求幂级数(11 ) n2xn 的收敛半径和收敛域n 1n4、 limx2y 2x01x 2y21y05、f ( x, y, z)x xy2yz2(2,-1,2)到点（-11 2()，l 为从点 P0， ， ）的方向，求 f lP0三讨论与验证题：（每小题10 分，共 30 分）1、已知 f (x,

2、y)(x 2y2 ) sin x21y 2x2y 20，验证函数的偏导数在原0x0, y0点不连续，但它在该点可微2、讨论级数ln n 21 的敛散性。n 1n 213、讨论函数项级数( xnxn1)x1,1 的一致收敛性。n 1nn1四证明题 ：（每小题10 分，共20 分）1若f ( x)dx收敛，且 f （ x）在,+）上一致连续函数，则有lim f ( x)0aax2设二元函数f (x, y) 在开集 DR2 内对于变量x是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： f ( x, y )f ( x, y)L yy 其中 ( x, y), (x, y ) D , L 为常数证明

3、f ( x, y) 在 D内连续。参考答案一、 1、若集合 S 中的每个点都是它的内点，则称集合 S 为开集；若集合 S 中包含了它的所有的聚点，则称集合 S 为闭集。1 / 8页眉2 设函数项级数un (x) 满足（ 1） un (x)(n1,2, ) 在 a ， b 连续可导n 1a)un (x) 在a ， b 点态收敛于 S(x)n 1b)un ( x) 在 a ，b 一致收敛于( x)n 1则 S( x) =ddun ( x) 在 a ， b可导，且 dx nun ( x)n 1 dx un ( x)n113 、有界函数f ( x) 在 a ， b 上可积的充分必要条件是，对于任意分法

4、，当max(xi )0 时 Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等1i n3 1t 3 )t 3dt二、 1、令 tx （ 2 分）x3 1xdx32(1468（ 5 分）91072、 y1ba 2x2 , y2ba 2x2，（2 分）所求的体积为：a( y12y22 )dx 2 2 a 2b （ 5 分）a(11 )n1113、解：由于 lim(n)n收敛半径为分），当11e(4n(1)n 1(1)n 1enn 11x1时， (11)n 2(1)n (1) n10(n) ，所以收敛域为 (1,1 ) (3 分）eneee22(x2y2)(1x2y21)4、limxylimli

5、m( 1x2y21) 2（ 7x01 x2y21x0( 1 x2y21)( 1 x2y21)x 0y 0y 0y 0分）5、解： 设极坐标方程为f x (2,1,2)2, f y (2,1,2)0. f z (2,1,2)4 （4 分）f l (2,1,2)6（3 分）13三、 1、解、 f x2x(sin x21y 2x21y2cos x 21y 2 )x2y20 （ 4 分）由于0x 2y202 / 8页眉1cos1当趋于（ 0， 0）无极限。所以不连续，同理可的f y 也不连续，（ 2 分）x2y22y2xln n 2122、解： limn211 （ 5 分）2收敛，所以原级数收敛（5

6、分）2n 1 n1nn21xn10,1， nN 时 有3 、 解 ： 部 分 和 Sn ( x) x（ 3 分 ），取Nn1Sn ( x)xxn11，所以级数一致收敛（7 分）1nn四、 证明题 （每小题10 分，共 20 分）1、证明：用反证法若结论不成立，则00, X .a, x0X，使得f (x0 )0 ，（ 3 分）又因为在f （ x）在 a, ） 上 一 致 连 续 函 数 ，0(0,1),x , x a， 只 要 xx0， 有f (x )f ( x )0，（ 3分）于是A0a, 令 XA01 ，取上述使f (x0 )0的点2x0X ,， 不 妨 设f (x0 ) 0 ， 则 对 任

7、 意 满 足x x00 的 x， 有f ( x)f ( x0 )000 取 A 和 A 分 别 等 于 x00 和 x00， 则2222A f ( x)dx00 有，由 Cauchy 收敛定理，f ( x)dx 不收敛，矛盾（4 分）A2a2、证明：(x0 , y0 )D ，由 Lipschitz条件f (x, y)f (x0 , y0 )f ( x, y) f ( x, y0 )f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 )L yy0f ( x, y0 )f (x0 , y0 ) （ 1），（6 分）又由二元函数 f ( x, y) 在开集 DR2 内对于变量 x 是连续的，（ 1）式的

8、极限为0， f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 连续，因此f ( x, y) 在 D内连续（ 4 分）（二十二）数学分析期末考试题一叙述题 ：（每小题5 分，共 15 分）3 / 8页眉1 Darboux和2 无穷限反常积分的 Cauchy 收敛原理3 Euclid 空间二 计算题 ：（每小题 7 分，共 35 分）n n!1、limn n2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积y 22x2 yx23、 I n0e x xn dx ( n 是非负整数）4、设 uf ( x2y 2z2 , xyz), f 具有二阶连续偏导数，求2uz x5、求 f (x)ex 的幂级数展开式三讨论与

9、验证题：（每小题10 分，共 20 分）1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例2、讨论级数cosnx( 0x) 的绝对和条件收敛性。n 1n p四证明题 ：（每小题10 分，共 30 分）x01 f（x）在 0 ，+）上连续且恒有f （ x） 0，证明 g( x)xtf (t) dt在 0 ， +）上f (t )dt0单调增加2设正项级数xn 收敛， xn单调减少，证明 lim nxn0n1n3f ( x, y)yf ( x, y) 不存在2，证明： limxyx0y0参考答案Px0x1xn b 和一、 1、有界函数f ( x) 定义在

10、 a,b 上，给一种分法， a记M isup f ( x), xi 1 , xi , mi inf f (x), xi1 , xi，则nnPS(P)M i xi , S( P)mixi 分 别 称 为 相 应 于 分 法的 Darboux大 和 和i1i 14 / 8页眉Darboux 小和。0. N a 使得 m nN ，成立n2、f ( x)dxm3、 Rn 向量空间上定义内积运算x, y x1 y1xn yn 构成 Euclid空间二、 1、由于 lim ln n n!lim 1(nln i ) n ln n)limnnnnni 1ni 1分）2、解：两曲线的交点为（2， 2），（0，

11、0），（2 分）ln i 11ln xdx 1（ 7n n02x24)dx（ 5 分）所求的面积为：( 2x0233、 解：I ne x x n dx0x n ex | + ne x x n 1dx1x x n dx +e x xn dx （ 6 分）=nI n1e0001I nn! (1分）4、：u= 2 f1 xyzf 2 （ 3 分）2 u2 x(2 zf11xyf12 )yf 2yz(2 zf21 xyf22 ) （ 4xz x分）exn 15、解： 由于余项 rn ( x)0( n) ，（ 3 分）所以(n1)!xex1 xx 2x n（ 4 分）2!n!三、 1、解、可微必可偏导和

12、连续，证明可看课本133 页（ 4 分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本135 页（ 6 分）2、解：当p时，级数绝对收敛， （ 4分）当0p1，由 Dirichlet定理知级数收敛，1cosnx2cos nx1cos2nx| cosnx | 发散，即级数条件收敛（ 4 分），但，所以n pn p2n p2n pn 1n p当 p0 时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2 分）四、 证明题 （每小题10 分，共 30分）xf (x)xx( xf (t )tf (t)dtxf ( x) f (t )dttf (t) dtf ( x)1 证明： g(x)0000 （ 8 分）(xf (t

13、)dt )2(x0f (t )dt ) 20所以函数单调增加（2 分）5 / 8页眉2证明： m, nm ，有 (n m)xm 1xnxm 由此得 nxnnnxm ，（ 4 分）由m级数收敛，故0 可取定 m0 使得 xm，又 limn，故n0 使得 nn0 时，10nnm0n分）于是当 nn0 时，有 0 nxn2，得证（ 2 分）有n2 ，（4m3 、 证 明 ：lim f (x, y)limx1 lim f (x, y) lim2x 221， 所 以x 0x 0x2xx0x 0 xx2y xyx2limf ( x, y) 不存在（ 10 分）x0y0（二十三）数学分析期末考试题一叙述题

14、： ( 每小题 5 分，共 15 分）1 微积分基本公式2 无穷项反常积分3 紧几合二计算题 ： ( 每小题7 分，共35 分）1、d x 2dt2dxdx01t 4 1 1x42、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积yx22yx3、求n(n2)x n的收敛半径和收敛域n14、设 uxe yze zy ，求偏导数和全微分5、 lim1 xy 1xyx 0y 0三 讨论与验证题 ： ( 每小题 10 分，共 30 分）1 讨论 f ( x, y)2x 2 y 22 的二重极限和二次极限y2(x y)x1dx2讨论e的敛散性0 x p ln x6 / 8页眉3、讨论函数项fn ( x)xnx n

15、1 ( 0 x1) 的一致收敛性。四 证明题： ( 每小题 10 分，共20 分）1设 f （ x）连续，证明xu)duxuf (u)( x0f ( x)dx du002证明 u y ( x2y 2 ) 满足 y ux ux uxyy参考答案一 、 1 、 设 f (x) 在 a, b 连续 ， F (x) 是 f ( x) 在 a,b 上 的一个 原函数，则成 立bf ( x) dx F (b) F (a) 。a2 、设函数f (x) 在 a,) 有定义，且在任意有限区间a, A 上可积。若极限limAf ( x)dx 存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散Aa3、如果 S的任意一个开覆

16、盖U 中总存在一个有限子覆盖， ，即存在 U中的有k限个开集 U ikU iS ，则称 S 为紧集i 1 ，满足i1二、 1、 dx2dt2dx = ddx01 t 41 1x4dxx2dt2x分）1 t 4（ 701 x82、解：两曲线的交点为（-2 ， 4），（ 1， 1），（ 2 分）1(2xx2 )dx9所求的面积为：（ 5 分）223 ： lim nn(n2)1，收敛半径为 1（ 4 分），由于 x1 时，级数不收敛，n所以级数的收敛域为（-1 ， 1）（ 3 分）4： u = eyzu = xzeyz1u = xyeyze z （ 4 分）xyzdu e yzdx(xzeyz1)d

17、y( xyeyze z )dz （3 分）5、解： lim1xy 1lim ( 1xy1)(1xy1)1 （ 7 分）x0xyx0xy(1xy1)2y0y0三、 1、解、由于沿 ykx 趋于（0，0）时，limx 2 y 20k1( xy) 21k，所以( x, kx)( 0,0 ) x 2 y217 / 8页眉重极限不存在（5 分）lim limx2 y20, lim limx2 y 20 ，（ 5 分）2 y2( x y) 22 y2( x y) 2x 0 y 0 xy 0 x 0 x1 p11dx2： 0p1，由于 x 20( x0) 故 e收敛（ 4 分）； p1，由x p ln xx p ln x01p11于 x21( x) （ 4 分）故edx收敛， p1， e dx，x p ln x0 x p ln x0 x ln x发散（ 2 分）。3、 limf n (x)0 f (x) （ 3 分），nlim sup f n