cap6-3-4-惯性定理-正定二次型与正定矩阵

1、1,化 学 数 学,重庆师范大学化学学院 物理化学工教研室 谌虹,2,第一部分 线性代数,3,第六章 二次型,第一节 二次型 第二节 化二次型为标准型 第三节 惯性定理 第四节 正定二次型与正定矩阵,4,第三节 惯性定理,限定所用的变换为实变换来研究二次型的标准形所具有的性质。 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法、初等变换法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。 但比较各个不同的标准形会发现，其中所含有的系数不为零的平方项的个数是确定的，项数等于二次型的秩，且正平方项、负平方项的个数也相同。即有下列定理：,5,证明 略（P117）,6,说明： 因为标准

2、形的矩阵B是对角阵，对角阵B的秩等于对角线上非零元素的个数p+q，所以 二次型f的秩=矩阵A的秩=矩阵B的秩= p+q =r,即，对一n阶实对称阵A，不论取怎样的可逆阵C，只要使,di0 (i=1,2,.,p+q) p+qn成立，则p和q是由A唯一确定的.,7,定义1,即二次型XTAX(所化成)的标准形中： 正平方项的项数(与A合同的对角阵中正对角元的个数)，称为二次型(或A)的正惯性指数； 负平方项的项数(与A合同的对角阵中负对角元的个数)，称为二次型(或A)的负惯性指数； 正负惯性指数的差为符号差。,为此特给出下列定义：,8,n阶实对称矩阵A的秩为r，正惯性指数为p，则 负惯性指数 q=r

3、-p 符号差 p-q=2p-r 与A合同的对角阵的零对角元个数为 n-r,9,推论1,(6.15)右端称为二次型的规范型，显然，它是唯一的。(6.16)式中的对角阵称为A的合同规范形。,10,或设A为n阶实对称矩阵，若A的正负惯性指数分别为p和q，则 A diag(1,.,1,-1,.,-1,0,.,0) (6.16) 其中1有p个, -1有q个, 0有n-(p+q)个。,11,证 根据惯性定理，存在可逆阵C1，使得,其中1分别有p,q个，0有n-(p+q)个。 取C=C1C2，(6.16)式成立； 取X=CY(C可逆)(6.15)式成立。,12,如果两个n阶实对称矩阵A,B合同，我们也称它们

4、对应的二次型XTAX和YTAY合同。 根据上面的结果不难证明: 两个对称矩阵A,B合同的充要条件是：A,B有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数。,定义3,注：6.1合同矩阵的定义,13,作 业,P123习题六 6、,14,第四节 正定二次型与正定矩阵,15,定义,16,例如,为正定二次型,为负定二次型,17,18,正定矩阵的简单性质,19,正(负)定二次型的判别,定理,20,证明,(1)充分性,(2)必要性,注：取xi=1, xj=0(ji), 代入二次型, 得f(0,.,0,1,0,.,0)=ki0,综合(1)，(2)命题成立！,证毕！,21,推论 对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的特征值

5、全为正。,22,定理,证明,23,证毕！,24,由上述两个结论可见，一个二次型XTAX(或实对称矩阵A)，通过可逆(非退化)线性变换X=CY，将其化成标准型(或规范形),或将A合同于对角阵，即CTAC=，就容易判别其正定性。,25,根据上面的定理，可以得到判别二次型是否正(负)定的几个等价的条件：,定理,证明：略（P121）,26,证 (i)(ii) 对于A, 存在可逆阵C使得CTAC=diag(d1,d2,.,dn). 令X=CY就有 XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+.+dnyn2如有一个di0, 则上式必不恒大于零, 与命题(i)矛盾, 故A的正惯性指数为n, 从而A

6、I.,(ii)(iii) 由CTAC=I(C可逆), 得A=(CT)-1C-1=(C-1)TC-1, 取P=C-1, 则有A=PTP.,定理 若A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:(i) XTAX是正定二次型(或A是正定矩阵);(ii) A的正惯性指数为n, 即AI;(iii) 存在可逆阵P, 使得A=PTP;(iv) A的n个特征值l1,l2,.,ln全大于零.,27,(iv)(i) 对于n阶实对称矩阵A, 存在正交阵Q, 使得QTAQ=diag(l1,l2,.,ln),作正交变换X=QY, 得XTAX=l1y12+l2y22+.+lnyn2.由于已知特征值l1,l2,.,ln都大于零,

7、故XTAX正定,(ii)(iii) 设AX=lX, 即(PTP)X=lX, 于是便有XTPTPX=lXTX, 即 (PX,PX)=l(X,X).由于特征向量X0, 从而PX0, 故A的特征值,28,霍尔维茨定理,直接从二次型的矩阵A本身判定它是否正定的方法。,定理3 (1)n元实二次型f=XTAX正定(对称矩阵A正定)的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都大于零(为正)。,29,*(2) n元实二次型f=XTAX负定(对称矩阵A为负定)的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,这个定理称为霍尔维茨定理。,证明 略,30,例1,判别二次型,是否正定。,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,31,例2 P121 例1 自学,32,例3,判别二次型,是否正定。,解,33,例4,判别二次型,是否正定。,解,用特征值判别法.,二次型的矩阵为,即知A是正定矩阵,故此二次型为正定二次型.,34,例5 P121 例2 讲,35,小 结,1、正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系。,2、正定二次型（正定矩阵）的