特殊的平行四边形(提高)知识讲解

1、特殊的平行四边形（提高）【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每

2、一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四

3、边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1

4、）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：(1)PBAPCQ30；(2)PAPQ【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90，利用条件PBC和QCD都是等边三角形，容易求得PBA和PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明PABPQC(SAS)，从而证得PAPQ【答案与解析】证明：(1) 四边形ABCD是矩形， ABCBCD90

5、PBC和QCD是等边三角形， PBCPCBQCD60， PBAABCPBC30，PCDBCDPCB30PCQQCDPCD30，故PBAPCQ30(2) 四边形ABCD是矩形， ABDC PBC和QCD是等边三角形， PBPC，QCDCAB ABQC，PBAPCQ，PBPC PABPQC， PAPQ【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可 举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处(1)求证：；(2)设AE，AB，BF，试猜想之间有何等量关系，并给予证明【答案】证明：(1)由折叠可得 ADBC

6、， ， ， (2)猜想理由：由题意，得，由(1)知在中， ， 2、如图所示，在ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F(1)试证明EOFO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由【思路点拨】(1)根据条件证明OEC与OCF都是等腰三角形，即OEOC，OFOC，所以EOFO(2)由(1)OEOCOF，只要OAOC，即点O为AC的中点，则四边形AECF是矩形【答案与解析】证明：(1)因为MNBC，CE，CF分别是BCA、BCA外角的平分线，所以CEOECO，CFOFCO，所以OEOC，OFOC，所以EOFO

7、(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形由(1)知EOFO，又因为AOCO，所以四边形AECF为平行四边形因为OEOC，所以ACEF，所以四边形AECF是矩形【总结升华】对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是对平行四边形、矩形判定的综合应用.举一反三：【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，ABO是等边三角形，AB4，求这个平行四边形的面积.【答案】解： 四边形ABCD是平行四边形. ABODCO 又ABO是等边三角形 DCO也是等边三角形，即AOBOCODO ACBD ABCD为矩形. AB4，ACAOCO AC8 在RtABC中，由勾股定理得： BC矩形ABCD的面积为

8、：ABBC16类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，BEAF60，BAE18求CEF的度数【思路点拨】由已知B60，BAE18，则AEC78欲求CEF的度数，只要求出AEF的度数即可，由EAF60，结合已知条件易证AEF为等边三角形，从而AEF60【答案与解析】 解：连接AC 四边形ABCD是菱形， ABBC，ACBACF 又 B60， ABC是等边三角形 BACACB60，ABAC ACFB60 又 EAFBAC60 BAECAF ABEACF AEAF AEF为等边三角形 AEF60 又 AEFCEFBBAE，BAE18， CEF18【总结升华

9、】当菱形有一个内角为60时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点(1)求证：BOEDOF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论【答案与解析】(1)证明：在矩形ABCD中，ABCD，BOOD， BEODFO，EBOFDO（两直线平行，内错角相等）， BOEDOF(AAS)(2)当EFAC时，四边形AECF是菱形证明：由(1)知，BOEDOF， OEOF又 矩形ABCD中，OAOC， 四边形AEC

10、F是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又 EFAC， 四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知，在ABC中，ABAC，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.求四边形AQMP的周长；M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）MQAP，MPAQ，四边形AQMP是平行四边形 QMAP又ABAC，MPAQ，2C，PMC是等腰三角形，PMPCQMPMAPPCAC 四边

11、形AQMP的的周长为2（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.M位于BC的中点时,易证QBM与PCM全等,QMPM, 四边形AQMP为菱形.类型三、正方形的性质和判定5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DECF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M求证：AMDF【思路点拨】根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明AOEDOF，得出OAE=ODF，然后利用等角代换可得出DME=90，即得出了结论【答案与解析】证明：ABCD是正方形，ODOC，又DECF，ODDEOCCF，即OEOF，在RtAOE和RtDOF中，AOEDOF，OAEO

12、DF，OAEAEO90，AEODEM，ODFDEM90，即可得AMDF【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出OAEODF，利用等角代换解题举一反三：【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CEBKAG以线段DE、DG为边作DEFG (1)求证：DEDG，且DEDG(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想【答案】证明：(1) 四边形ABCD是正方形， DCDA，DCEDAG90 又 CEAG， DCEDAG， EDCGDA，DEDG又 ADEEDC90， ADEGDA90， DEDG (2)四边形CEFK为平行四边形证明：设CK，DE相交于M点， 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ABCD，ABCD，EFDG，EFDG； BKAG， KGABCD 四边形CKGD为平行四边形 CKDGEF，CKDGEF 四边形CEFK为平行四边形6、如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形【思路点拨】矩形的各内角平分线将每个内角分成45，它们和矩形的边组成了等腰直角三角形，所以围成的图形为矩形，再证明一组邻边相等，得出结论【答案与解析】解： 四边形ABCD为