全等三角形判定方法专题(一)

1、 全等三角形判定方法 (1)本讲知识归纳1. 形状、大小相同的两个三角形放在一起能够完全重合，称这样的两个三角形叫做全等三角形.2. 如图，平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.3. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.4. 全等三角形的判定方法： （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.基础回顾例1 如图，已知，DEAC，BFAC，垂足分别是E、F，DE=BF

2、，AF=CE.求证：ABDC. 分析：从要证明的结论入手，要证ABDC，转化为证C=A；要证C=A，只要证ABFCDE；要证ABFCDE，只要有两边和它们的夹角对应相等. 显然，这与已知条件相吻合.归纳总结：探求证明题的思路，有两种较常见的方法. 从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、公理，逐步退出要证的结论，这种方法叫综合法. 有时“顺着”已知条件去证会产生一定困难，这时我们可采用与综合法的思考顺序相反的方法分析法，去探求证题的途径. 分析法的思路是：从要证明的结论出发，根据已学过的知识，倒过来寻找使结论成立所需的条件，这样一步一步地逆求，一直追溯到结论成立所需的条件与已知条件或已学过的一

3、些结论相吻合，这种方法可简单地说成“要什么，找什么，向已知条件靠拢”. 分析法是探求证题思路的一种非常有效的方法. 本例的“分析”便是运用的分析法，探求的过程大致如下：ABCDA=CABFCDEBFAC， DEAC例2 如图，已知AB=CD，ABCD，BE=DF，E、F是BD上两点，求证：DAE=BCF. 分析：要证DAE=BCF，可考虑ADEBCF. 目前由BE=DF得到DE=BF可用，其它所需要另行解决. 结合条件，可以证明AEBCED，直接得到AE=CF，间接地可以得到AED=CFB. ADEBCF的条件就都具备了.归纳总结：本题将分析法与综合法结合起来，这种既从条件着手，又从结论逆向探

4、索的方法称为分析综合法，这是一种最为有效和最常用的思考方法.练 习1. 如图，已知，AC、BD相交于O，AE=FC，AO=OC，BO=OD. 求证：1=2.2. 如图，已知BE、CF分别是ABC的AC、AB边上的高. 在BE的延长线上取点P，使BP=AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ=AB. 求证：AQAP.方法运用例3 如图，已知D是ABC的边BC上的一点，且CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线. 求证：AC=2AE. 分析：要证AC=2AE，可先构造出2AE，即延长AE至F，使EF=AE，于是问题转化为证AC=AF. 考虑证AFDACD，直接证较困难，结合条件，可先证EFDEA

5、B. 归纳总结： （1）若从条件“AE是ABD的中线”出发，本题作辅助线的方法可概括为“倍长中线法”. 今后，当遇有中线条件时，可尝试运用，中线倍长后，立即出现一对全等三角形. （2）从结论上看，本题属“线段的和差倍分”问题，常用“截长补短”来解决，本例上面提供的证法属于“补短法”. 当然，在学了等腰三角形知识和中位线定理后，也可运用“截长法”，即取AC的中点G，连DG，再由三角形全等得AE=AG.例4 如图，已知，AB=DE，BC=EF，CD=FA，A=D. 求证：C=F. 分析：由已知条件AB=DE、CD=FA和A=D，观察图形，若连BF、EC，可得到ABFDEC. 对比求证的C=F.，命

6、题转化为求证BFE=ECB. 于是继续连接BE，考虑证BEFEBC. 归纳总结：本题再次体现了分析综合法（即“两头凑”）的方法，解决问题的合理、准确性，避免了“撞南墙，不回头”现象，学会及时、正确调整解题方向，是解决较复杂问题的前提.练 习1. 如图，已知，AB=AE，BC=DE，B=E，M为CD的中点. 求证：AM平分BAE.2. 如图，ABC为直角三角形，BAC=90，ADBC于D，ACB的平分线交AD于F，交AB于E，FGBC交AB于G，AE=3，AB=8，求EG的长.问题探究例5 如图，ABC中，A=90，AB=AC，D为AC中点，F为BC上一点，ADB=FDC. 试判断AF与BD的位

7、置关系，并说明理由. 分析：猜想AFBD. 要证明这一猜想，可转化为证1=2，观察图形，现有的三角形中，难以通过全等解决，需要构造全等三角形. 注意ABC是一个等腰直角三角形，尝试作斜边BC上的高AG，交BD于M，得到两个新的等腰直角三角形ACG和等腰直角三角形ABG，结合条件，得到CDFADM，进而，可证明ACFBAM，得证. 归纳总结：构造三角形全等解决问题，是几何中的一个难点. 在作辅助线时，应紧紧围绕已知条件进行. 本例中，作一条高线AG，构造出两对全等三角形，因为它很好地融合了等腰直角三角形、角相等和中点等条件，形成了联接这些条件的真正“纽带”.作业1. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF. 将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O. 图 图 图 （1）当旋转至如图位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 ； （2）当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在图中，连接BO、AD，B