五年级奥数春季班第8讲 完全平方数

1、第八讲 完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1（1）写出12、22、32、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什么规律？n12345678910n2n11121314151617181920n2（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？呢？解：（1）n12345678910n2149162536496481100n11121314151617181920n2121144

2、169196225256289324361400（2）1000不是平方数，也不是平方数。 如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。例2（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数 ；（2）非零自然数的平方按大小排列成，则第92个位置的数字是 。解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、直到312=961，一共有223=66个数字，前面共有66+15=81个数字，

3、从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。例3240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是 ；b的最小值是 。解：240=2435，乘a是一个完全平方数，a的最小值是35=15， 同样24015也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4（

4、1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有 ；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有 ；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。例5一个房间有100盏灯，用自然数1、2、3、100编号。每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮，有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，把编号是1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，把编号是2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100

5、个人进入房间后，把编号是100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着。解：第1盏灯被按了1下；第2盏灯被按了2下；第3盏灯被按了2下；第4盏灯被按了3下；，按这个规律排下去发现每盏灯被按的次数恰好是它们的因数的个数，平方数的因数有奇数个，其他的数的因数都有偶数个，在1100中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个数。所以最后又10盏灯亮着。模块三、完全平方数的余数性质性质5：完全平方数除以3只可能余0或1；完全平方数除以4只可能余0或1；完全平方数除以8只可能余0、1或4；完全平方数除以16只可能余0、1、4或9

6、；例6（1）1、11、111、1111、，这些数中有 个平方数；（2）1、14、144、1444、14444，这些数中有 个平方数。解：（1）由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4 余1，偶数的平方能被4整除现在这些数都是奇数，除了1 以外，它们除以4的余数都是3，所以只有1个完全平方数（2）共有3个，分别是1，144，1444(38 的平方).14444=43611，14444除以16余12，后面的各数除以16都与12，因此不可能再有平方数.随 堂 练 习1判断下面有没有平方数？182、233、284、387、688解：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9，所

7、以182、233、387、688不是平方数；又162=256284289=172，所以284不是平方数；所以这五个数都不是完全平方数。 24106是不是平方数？如果是，它是谁的平方；如果不是，那么它介于哪两个平方数之间？解：642=4096， 652=4225，所以4106不是平方数，它介于64的平方和65的平方之间。3360与正整数a相乘之积为完全平方数，a的最小值为 。解：360=6225，所以a的最小值是10.410000以内的自然数中，有且仅有3个因数的自然数有 个。解：有且仅有3个因数的自然数是质数的平方数，有22=4、32=9、52=25、72=49、972=9409， 这样的数有25个。5少年宫游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡，按1250编号。它们的亮暗规则是：第1秒，全部灯变亮；第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；第n秒，