2020年人教版九年级数学上册期末专题《旋转 综合题》（含答案）.doc

1、期末专题旋转 综合题在ABC中，AB=AC，BAC=2DAE=2（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：ADFABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若=45，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若=45，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABO和CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90若BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了

2、这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）请你回答：图2中BCE的面积等于 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 将两块全等的三角板如图摆放，其中ACB=DCE=90，A=D=4

3、5，将图中的DCE顺时针旋转得图，点P是AB与CE的交点，点Q是DE与BC的交点，在DC上取一点F，连接BE、FP，设BC=1，当BFAB时，求PBF面积的最大值。 （1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q若PA=3，PB=2，PC=5，求BQC的度数（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求BPA的度数 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且EAF=45，将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2 已知

4、，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PMAB，PNBC，垂足分别为E、F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是 _（2）当MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由 （3）如图3，等腰RtABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，RtMPN的边 PM 与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？ 如图，O是等边ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60得到线段BO.（1

5、）求点O与O的距离；（2）证明：AOB=150；（3）求四边形AOBO的面积（4）直接写出AOC与AOB的面积和 操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由.若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，

6、且AMMB13，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明. 已知RtABC中，ACB=90，CA=CB,有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，只需证DN=BN，MDN=90就可以了请你完成证明过程： （）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式MN2=AM2+BN2；是否仍然成立？若成立，请证

7、明；若不成立，请说明理由 问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以BPA=150，而BPC=BPA=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长 参考答案证明：（1）点D关于直线AE的对称点为F，EAF=DAE，AD

8、=AF，又BAC=2DAE，BAC=DAF，AB=AC，=，ADFABC；（2）点D关于直线AE的对称点为F，EF=DE，AF=AD，=45，BAD=90CAD，CAF=DAE+EAFCAD=45+45CAD=90CAD，BAD=CAF，在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），CF=BD，ACF=B，AB=AC，BAC=2，=45，ABC是等腰直角三角形，B=ACB=45，ECF=ACB+ACF=45+45=90，在RtCEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2；（3）DE2=BD2+CE2还能成立理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对

9、称的性质得，EF=DE，AF=AD，=45，BAD=90CAD，CAF=DAE+EAFCAD=45+45CAD=90CAD，BAD=CAF，在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），CF=BD，ACF=B，AB=AC，BAC=2，=45，ABC是等腰直角三角形，B=ACB=45，ECF=ACB+ACF=45+45=90，在RtCEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2 解：BCE的面积等于 2 . （1）如图：以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是EGM .（2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 3 解：ACB =90，A=45，

10、A=ABC=45,AC=BC=1.BFAB，CBF=45.A=CBF.由旋转的性质可得：BCF=ACP，BCFACP(ASA).BF=AP。ACB =90，A=45，AC =1，AB=。设BP=x，则BF=AP=，。，当x= 时，S（max）= 。解：（1）连接PQ由旋转可知：，QC=PA=3 又ABCD是正方形，ABP绕点B顺时针方向旋转了90，才使点A与C重合，即PBQ=90，PQB=45，PQ=4则在PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，PC2=PQ2+QC2即PQC=90故BQC=90+45=135（2）将此时点P的对应点是点P 由旋转知，APBCPB，即BPA=BPC，PB=PB=

11、5，PC=PA=12又ABC是正三角形，ABP绕点B顺时针方向旋转60，才使点A与C重合，得PBP=60，又PB=PB=5，PBP也是正三角形，即PPB=60，PP=5因此，在PPC中，PC=13，PP=5，PC=12，PC2=PP2+PC2即PPC=90故BPA=BPC=60+90=150证明：（1）将ADF绕点A顺时针旋转90后，得到ABQ，QB=DF，AQ=AF，ABQ=ADF=45，在AQE和AFE中，AQEAFE（SAS），AEQ=AEF，EA是QED的平分线； （2）由（1）得AQEAFE，QE=EF，在RtQBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2 解：（1）数量

12、关系：相等，位置关系：垂直故答案为相等且垂直zhi（2）成立，理由如下：MPN是直角三角形，MPN=90连接OB，OBE=C=45，ABC，MPN是直角三角形，PEAB，PFBC，ABC=MPN=BEP=BFP=90，四边形EBFP是矩形，BE=PFPF=CF，BE=CF，OB=OC=0.5AC，在OEB和OFC中，BECF，OBEOCF，OBOCOEBOFC（SAS），故成立，（3）如图，找BC的中点G，连接OG，O是AC中点，OGAB，OG=0.5AB，AB=6，OG=3，OGAB，BHEGOH，EH：HO=2：5，BE：OG=2：5，而OG=0.5AB=3，BE=1.2.一 、综合题解：（1）等边ABC，AB=CB，ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BO=BO，OAO=600OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到 连接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形OO=OB=4（2）AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形AOB=AOOO