高中数学 第二章 参数方程 一 1 参数方程的概念教学案 新人教A版选修4-4

1、1参数方程的概念 1参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(，)的函数：，并且对于每一个t的允许值，方程组所确定的点(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程2参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数参数方程表示的曲线上的点例1已知曲线C的参数方程是(t为参数)(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值思路点拨由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否

2、存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上解(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得：解得：t0.点M1在曲线C上同理：可知点M2不在曲线C上(2)点M3(6，a)在曲线C上，解得：t2，a9.a9.参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的1已知点M(2，2)在曲线C：(t为参数)上，则其对应的参数t的值为_解析：由t2知t1.答案：12已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，aR)点M(5,4)在该曲线上，求常数a.解：点M(5,4)在曲线C上，解得：a的值为1.求曲线的参数方程例2如图，ABP是等腰直角三角形，B是直角，

3、腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程思路点拨此类问题关键是参数的选取本例中由于A、B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解解法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则RtOABRtQBP.取OBt，t为参数(0ta)|OA|，|BQ|.点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0ta)法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示取QBP，为参数，则ABO.在RtOAB中，|OB|acosasin .在RtQBP中，|BQ|acos ，|PQ|as

4、in .点P在第一象限的轨迹的参数方程为.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略3设质点沿以原点为

5、圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为 rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知：又t，故参数方程为：一、选择题1下列方程可以作为x轴的参数方程是()A.B.C. D.解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.答案：D2若点P(4，a)在曲线(t为参数)上，则a等于()A4 B4C8 D1解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得答案：B3在方程(为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A(2，7) B(，)C(，) D(1,0)解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出，则点在曲线上，经

6、检验，知C满足条件答案：C4由方程x2y24tx2ty3t240(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A. B.C. D.解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点由x2y24tx2ty3t240得：(x2t)2(yt)242t2.答案：A二、填空题5已知曲线(为参数，02)下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(3,5)，其中在曲线上的点是_解析：将A点坐标代入方程得：0或，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上答案：A(1,3)6下列各参数方程与方程xy1表示相同曲线的序号是_；.解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而中x的取值依次为：0，)，1,1，1,1，故均不正

7、确，而中，xR，yR，且xy1，故正确答案：7动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为_解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为：x19t，在y轴上的位移为y112t.参数方程为：.答案：三、解答题8已知动圆x2y22axcos 2bysin 0(a，b是正常数，且ab，为参数)，求圆心的轨迹方程解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点由x2y22axcos 2bysin 0得：(xacos )2(ybsin )2a2cos2b2sin2这就是所求的轨迹方程9如图所示，OA是圆C的直径，且OA2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQOA，PBOA，试求点P的轨迹方程解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ，由PQOA，PBOA，得xODOQcos OAcos22acos2，yABOAtan 2atan .所以P点轨迹的参数方程为.10试确定过M(0,1)作椭圆x21的弦的中点的轨