第六章二维随机变量

1、第六章 二维随机变量,目的与要求：掌握二维离散、连续变量及分布函数的概念、掌握边缘分布与条件分布计算。,教学内容与时间安排2学时 教学方法：讲授与提问结合 教学手段：多媒体PPT软件,重点：二维离散与连续变量的分布函数及边缘分布的计算。,难点：,由于从二维推广到多维无实质性的困难，本节我们重点讨论二维随机变量。,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。,定义 如果某随机变量要通过 个随机变量 组成的有序数组,第一节 二维随机变量及分布函数,来描述，则称此有序数组为 维随机变量。相应地，称 元函数,为 维随机变量 的联合

2、分布函数。,特别地，当 时， 为二维随机变量。,为二维随机变量 的联合分布函数。(几何意义),同时成立的概率。,称,二维随机变量 的联合分布函数有以下性质：,分别对 和 单调不减，即,当 时，,当 时，,对 和 都是右连续的，即,且，,对任意实数 ，成立，,对于二维随机变量我们仍分离散型与连续型两种情况来讨论。,第二节 二维离散型随机变量及其分布,对于二维随机变量 ，如果 和 都是离散型随机变量，则称 是二维离散型随机变量。,几何意义,为 的联合分布列或分布列。,，则称,的分布列也可由以下矩阵表格表示。,反之，如果某非负数列,满足 ，则它定可作为某二维离散型随机变量的分布列。,例1 一口袋中装

3、有四个球，上面依次标有数字1，2，2，3。从袋中任取一球后不放回,的再取一球，假设每次取球时袋中各球被取到的可能性相同，以 和 表示第一次和第二次取出的球上标有的数字，求 的联合分布。,解 可能取值为,由乘法原理，得：,类似可得：,从而所求的分布列为：,第三节 二维连续型随机变量及其分布,定义 设二维随机变量 的联合分布函数为 ，如果存在一非负二元函数 ,使对任意实数 有,则称 是二维连续型随机变量，相应的二元函数 称为 的联合密度。它满足：,反之，若二元函数满足以上条件，则它定可作为某二维连续型随机变量的联合密度。,不难得出，在 的连续点：,且对平面上的任意区域,证明如下,试求(1) 常数

4、的值；,例2 二维随机变量 的联合密度为,（3） 的联合分布函数。,解 （1）由联合概率密度的性质：,从而,（2）,（3）由联合分布的定义，,当 或 时， 从而,当 且 时， 从而,从而所求的联合分布函数为：,下面我们介绍两个常见的二维分布。,设 是平面上的有界区域，其面积为 。若二维随机变量 具有概率密度,则称 在 上服从均匀分布。,向平面上有界区域 上任投一质点，若质点落在 内任一小区域 的概率与小区域,的面积成正比，而且与 的形状及位置无关。,例3 甲乙两人各自在0,1区间上随机取数,求甲所取数超过乙所取数两倍的概率。,上的均匀分布,从而所求概率为:,解 用 表示甲所取的数, 表示乙所取

5、的数,则（X，Y）服从正方形区域,若二维随机变量 具有概率密度：,记作：,密度函数图形体积为1,第四节 随机变量的边缘分布,又称边际分布。若 的联合分布函数为,则关于 的边缘分布函数记为,类似可得 关于 的边缘分布函数为,由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。,一般地，对二维离散型随机变量 ，联合分布列为,则 关于 的边缘分布列为,关于 的边缘分布列为,我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。,例4 设 的联合分布列为,求关于 及 的边缘分布列。,解 由边缘分布列的定义，,同理可计算出 的边缘分布。,从而关于 及 的边缘分布列为：,对

6、二维连续型随机变量 ，若联合概率密度为 ，则关于 的边缘分布,也可表示为：,其边缘密度函数为：,同理可知关于 的边缘分布函数和密度函数为：,函数为：,例5 设二维随机变量 的联合密度为,求 关于 和 的边缘概率密度。,解 由定义,所以,同理,从而,同理可得,注意到积分中函数恰好为一正态分布 的概率密度,积分值应为1,从而,例7 设随机变量(X, Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,解：(1)由,(2),所以,第五节 随机变量的相互独立性,随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念。,定义 设 是两个随机变量，若对任意实数 有,则称设 与 是相互独立的。,如果用 表示 的联合分布函数，,和 分别表示 和 的边缘分布函,数，则对于相互独立的随机变量 和 有：,即对所有的,例8 设 的联合分布列为,证明 与 分布相互独立。,容易算得证明 与 的边缘分布列为：,容易验证：,类似可以验证：,对所有的,对二维连续型随机变量 ，若联合概率密度为 ，如果 与 相互独立，则：,等式两边对 求二阶混合偏导数可得：,反之也成立。,因此连续型随机变