泊松过程仿真

1、泊松过程仿真1、 仿真内容及目的1.1 仿真内容首先查阅相关资料，学习如何在仿真环境下对随机过程进行仿真。然后在C语言、MATLAB等环境下，结合泊松过程的相关理论知识，设计算法及程序对泊松过程进行仿真实验。最后对得到的实验结果进行分析。1.2 仿真目的利用仿真实验，将泊松过程这一抽象的概念图形化、数字化、具体化，生成样本进行描述分析。加深对泊松过程这一抽象概念的认识和理解，其次掌握如何运用仿真工具对所学的理论知识进行仿真模拟，增强自己的动手能力和自学能力。2、 实验原理计数过程定义：设N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，若N(t)满足下列条件：（1） N(t)0；（2） N(t

2、)取正整数值；（3） 若,则N(s)N(t)；（4） 当时，表示区间（s,t中发生的“事件A”的次数。则称随机过程为计数过程。泊松过程定义：一个计数过程,具有参数，若它满足下列条件：（1） N(t)=0；（2） N(t)是独立增量过程；（3） 在任一长度为t的区间内，事件发生的次数服从参数的泊松分布，即对任意事件S，有则称为泊松过程。根据以上定义，令随机变量表示从第（n-1）次事件发生到第n次事件发生的时间间隔，则可以证明，服从互相独立但参数为的相同指数分布。因为只要按照参数产生指数分布的随机时间间隔序列，并计数系统随时间运行的过程中，按这个时间间隔序列对系统状态进行加1计数，则这个计数系统就

3、对应了参数为的泊松过程。3、 仿真环境及算法3.1 仿真环境C语言、MATLAB2.2仿真算法时间区间为0,T，泊松过程的速率为。（1） 令当前时刻t=0，泊松事件计数值N=0，使其满足泊松过程定义的第一个条件；（2） 在MATLAB中，利用rand()函数生成（0,1）上均匀分布的随机数U，利用逆变换法得到指数分布随机数E，即令；（3） 令t=t+E，如果tT,则停止；（4） 令N=N+1并设；（5） 回到第2步。4、 仿真结果及分析根据上述算法，我主要在C语言和MATLAB环境下做了仿真。C语言环境下能模拟出泊松过程的数据但不够清晰、直观，所以最后想到在MATLAB环境仿真，将得到的数据图

4、形化，这样便于分析理解。主要仿真如下：4.1 C语言环境下这里设置时间区间为（0,10），即T=10，=1。实验结果：图1：第一次运行结果图2：第二次运行结果结果分析：分别执行两次程序，分别得到两个不同的实验结果，分别如图1，图2所示。由图1可以看出该事件总共发生了13次，发生的时间从小到大分别为：0.，1.，1.，2.，4.，5.，5.，5.，5.，7.，7.，9.，9.；同理可以从图2可以知道该事件发生的次数和对应的时间。4.2 MATLAB环境下这里设置样本函数1的时间区间为（0,15），=1；样本函数2的时间区间为（0,15），=2。实验结果：图3：第一次仿真波形图4：第一次仿真结果图

5、5：第二次仿真波形图6：第二次仿真结果结果分析：运行两次程序，得到两组数据，图3和图4位第一次运行程序得到的实验结果，图5和图6为第二次运行程序得到的实验结果。图4为泊松过程产生的数据，x1表示样本函数1对应的时间节点，y1为样本函数1的时间节点所对应的事件发生次数；根据图4的样本数据得到图3的波形图，由图中可以看出，整个过程是递增的，并且可以找到每个时间节点所对应的事件发生次数。因为整个过程是随机的，所以我们可以看到图5和图6得到的实验结果和第一次得到的实验结果不大一样，但总体趋势都是递增的。5、 实验代码C语言代码#include #include #include int main()i

6、nt N = 0,T = 10;double U,E;double t = 0;double lamda = 1.0;printf(时间t%d:%lf,发生的次数N:%dn,N,t,N);srand(unsigned)time(NULL);/初始化随机数while(1)U = rand()/(RAND_MAX+1.0);E = -(1/lamda)*log(U);t = t + E;if(t T)break;elseN = N + 1;printf(时间t%d:%lf,发生的次数N:%dn,N,t,N);return 0;MATLAB代码%样本函数1lamda1 = 1.0;T1 = 15;t

7、1 = 0;N1=0;x1=;y1=;x1(1)=0;y1(1)=0;while t1 T1; U1 = rand(); E1 = -(1/lamda1)*log(U1); t1 = t1 + E1; if(t1T1) N1 = N1 + 1; x1(N1+1)=t1; y1(N1+1)=N1; endendy1x1%样本函数2lamda2 = 2.0;T2 = 15;t2 = 0;N2=0;x2=;y2=;x2(1)=0;y2(1)=0;while t2 T2; U2 = rand(); E2 = -(1/lamda2)*log(U2); t2 = t2 + E2; if(t2T2) N2 = N2 + 1; x2(N2+1)=t2; y2(N2+1)=N2; endendy2 x2stairs(x1,y1,r-);hold