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文档简介
1、古埃及的数学,数学哲学与数学史,数学史部分,第一章 数学的起源和早期发展,数学的发源地: 古代非洲的尼罗河(Nile)埃及文明; 西亚的底格里斯河(Tigris)和幼发拉底河(Euphrates)巴比伦文明; 中南亚的印度河(India)和恒河(Ganges)印度文明 东亚的黄河和长江中国文明., 数学产生于农业文明: 历法,测量土地,财富计算,产品交换,观测天体,建造皇宫等 一、古埃及的数学尼罗河, BC4000年的古埃及文明,已有象形文字(Hieroglyphic,意为“圣刻” ); BC3000年,埃及成为统一的奴隶制国家. 英国牛津博物馆(Oxford Museum in Britai
2、n)的古埃及第一王朝(约BC3400年以前)一个王室的权标上象形文字.,1、记数法以十为基数的象形文字,介于两符号之间的各数由这些符号的组合表示. 但是,他们的符号缺乏位置上的意义,这使得这种记数法是很麻烦的,为了表示大数,必须用相应多个符号.,特点:、最早采用10进制的国家之一; 、但没有采用位置计数法.,2、书写材料纸草 papyrus,是英文 “paper” 的语源.,现今保存下来的有两卷纸草记录了古埃及的数学资料,它们都产生于约BC1700年左右. 它们的作者可能是政治机关或教堂的书记(秘书),它们的内容就是题集和解答.,古埃及纸草书卷,莫斯科纸草(Moscow Papyrus) (现
3、存于莫斯科美术博物馆,一说现存于莫斯科普希金精细艺术博物馆)25个数学问题(俄国贵族戈兰尼采夫于1893年在埃及发现),长约525cm,宽约8cm,成书于约BC1890年.,兰德纸草(Rhind Papyrus) (大英博物馆)85个数学问题. 最初发现于埃及的底比斯古都废虚. (苏格兰人兰德 H. Rhind 于1858年购买于埃及),长约525cm,宽约33cm.,零星的材料:卡呼恩(Kahun)纸草书和柏林纸草书,阿赫姆(Akhmin)木板书(约BC2000年左右)以及克索斯时代的羊皮书一卷-埃及数学的补充信息. 注意:希腊人认为他们的数学是从埃及来的,然而埃及数学只限于非常实用者,古埃
4、及人没有命题证明的思想,他们的数学完全是实用数学,完全找不到推理的数学痕迹,而古希腊却有.,3、古埃及的算术知识:,(1) 古埃及人的计算具有迭加的特点: 任何自然数都可由2的各次幂的和组成. 例如: 计算 2731 *1 31 *2 62 4 124 *8 248 + *16 496 - 837,例:计算74526,只要连续地把除数26加倍,直到再加倍就超过745为止. 1 26 2 52 745 = 416+329 *4 104 = 416+208+121 *8 208 = 416+208+104+17 + *16 416 将上述带(*)号的各项相 - 加,得商为16+8+4=28 28
5、其余数为17.,(2)、 分数的记法和计算,单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个重要而有趣的特色,埃及人将所有的真分数都表示为一些单位分数(分子为1的分数)的和的形式(2/3例外). 埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用 (读作ro)表示分数线,将 或点的记号放在数的上方用来表示分数.,例如: 某些特殊的分数记号,如,兰德纸草书中数表:将所有分子为2而分母从5 -101的奇数表示为单位分数之和. 2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18 . 2/97=1/56+1/679+1/776 2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/
6、303+1/606,利用此表可进行分数计算 例如,要用521,可写成单位分数之和 运算程序如下: 5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42 注意:加倍程序和单位分数概念,兰德纸草书第70题: 求100(7+1/2+1/4+1/8)的商. 答:12+2/3+1/42+1/126. 解:将除数逐渐加倍: 15+1/2+1/431+1/263,是除数的8倍; 另外,除数与8+4+2/3相乘得 , 比被除数100小1/4.,调整:因除数的8倍
7、是63,故 (7+1/2+1/4+1/8)2/63=1/4 由2/n数表查得 2/63=1/42+1/126, 于是 100(7+1/2+1/4+1/8) = 8+4+2/3+2/63 = 12+2/3+1/42+1/126.,埃及人为什么对单位分数情有独钟,原因尚不清楚. 这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进一步发展,这也是古埃及算术和代数不能发展到更高水平的原因之一. 但是这种方法对于解决食物分配和土地分配问题却十分方便. 例如,平均分食物的7个面包8个人分. 7/8 = 1/2+1/4+1/8,(3)、完成了基本的算术四则运算 (4)、已经有了求近似平方根的方法 4、古埃及的代数: 、有渐
8、进的代数,但叙述方式是文词(即文词代数阶段),很少引用符号; 、比例的概念也已有萌芽; 三角函数观念的萌芽 、一元一次方程求解 即形如 或 某些二次方程,、等差级数和等比级数的概念及其求和 例1、兰德纸草书中有一方程问题:有一数量,它的2/3加它的1/2,加它的1/7,再加全部共为33. 用现代的记号是: 只不过分数部分写为 28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. 古埃及人把未知数称为“堆”(aha), 例2、兰德纸草书中的第24题:已知“堆”与七分之一“堆”相加为19,求“堆”的值. “假位法”(method of false positio
9、n)先假设一个特殊的数作为“堆”的值(多半是假值),将其代入等式左边去运算,然后比较得数与应得的结果,再通过比例的方法算出正确的答案. 在上例中,用数7作为未知数x的实验值,于是有,左边= 而应得的结果是19,这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8,将7乘以(2+1/4+1/18)即得正确的“堆”值为16+1/2+1/8.,例3、算术级数问题:5个人分100个面包,要求每个人所得的份数构成一个算术级数,并且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和-下伪法(regula falsi) 解: 先令第一项最大,这使得公差是负数.令首项和公差分别为a和d,写出了 于是公差为最小项的11/2倍,设
10、最小项为1. 于是得级数: 但和为60,为满足条件,各项5/3, 最后得:,例4、几何级数(等比级数).兰德纸草书第79题:是在数字 7,49,343,2401,16807 旁边各注有图人,猫,鼠,大麦,量器等字样,而且给出总数为19607. 问这个题目产生的是什么数列?总数是多少?-有答案无解法. “出门望九堤,堤有九木,木有九巢,巢有九鸟,鸟有九毛,毛有九色.”,5、古埃及的几何: 在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何性质的问题,内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关. 由此可知,古埃及的几何很发达. 几何问题多是讲度量法,涉及到田地的面积,谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名
11、的“金字塔之迷”就是其中的代表.,(1)、法老胡夫的金字塔(Pyramid): 兴建于齐阿斯王朝(BC2900年左右),高146.5米,塔基宽 233米,底边长度的误差为1.6厘米,正方程度与水平程度的平均误差1/10000,塔高与塔基之比非常近似于圆的周长与其半径之比.用以砌塔的巨石达230万块,重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头凿成平均一立方英尺的小块并排列成行,其长度相当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时间才建成的.,N.Khufu Pyramid,(2)、阿蒙神庙(Oman Tamples):阿蒙埃及的太阳神.王殿总面积5000平方米,有134根圆柱,中间最高的12根高
12、达21米.,、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他几何图形近似计算. 如:任意四边形的面积 、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况. 、圆的面积很好的近似. Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地,其面积=边长为8的正方形土地. 由此可知,圆面积为 ,其中 为直径,相当于取=3.1605,误差为0.6%.,、体积的计算 正四棱台的体积最高成就. 直棱柱(圆柱)的体积等于底面积乘以高. 、半球表面积的计算公式. 、知道相似三角形. 、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上,已经有了正确的知识.,结束语: 静止的特性-产生于约BC1700年左右的兰德纸草书和莫斯科纸草书中的数学,在数千年漫长的岁月中很少变化. 加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块,使古埃及人的计算显得笨重繁复. 古埃及人的面积、体积算法对精确的公式
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