《古埃及的数学》课件.ppt

1、古埃及的数学,数学哲学与数学史,数学史部分,第一章 数学的起源和早期发展,数学的发源地： 古代非洲的尼罗河(Nile)埃及文明； 西亚的底格里斯河(Tigris)和幼发拉底河(Euphrates)巴比伦文明； 中南亚的印度河(India)和恒河(Ganges)印度文明 东亚的黄河和长江中国文明., 数学产生于农业文明： 历法，测量土地，财富计算，产品交换，观测天体，建造皇宫等 一、古埃及的数学尼罗河, BC4000年的古埃及文明，已有象形文字（Hieroglyphic，意为“圣刻” ）； BC3000年，埃及成为统一的奴隶制国家. 英国牛津博物馆(Oxford Museum in Britai

2、n)的古埃及第一王朝（约BC3400年以前）一个王室的权标上象形文字.,1、记数法以十为基数的象形文字,介于两符号之间的各数由这些符号的组合表示. 但是，他们的符号缺乏位置上的意义，这使得这种记数法是很麻烦的，为了表示大数，必须用相应多个符号.,特点：、最早采用10进制的国家之一； 、但没有采用位置计数法.,2、书写材料纸草 papyrus,是英文 “paper” 的语源.,现今保存下来的有两卷纸草记录了古埃及的数学资料，它们都产生于约BC1700年左右. 它们的作者可能是政治机关或教堂的书记（秘书），它们的内容就是题集和解答.,古埃及纸草书卷,莫斯科纸草(Moscow Papyrus) （现

3、存于莫斯科美术博物馆，一说现存于莫斯科普希金精细艺术博物馆）25个数学问题（俄国贵族戈兰尼采夫于1893年在埃及发现），长约525cm，宽约8cm，成书于约BC1890年.,兰德纸草(Rhind Papyrus) （大英博物馆）85个数学问题. 最初发现于埃及的底比斯古都废虚. （苏格兰人兰德 H. Rhind 于1858年购买于埃及），长约525cm，宽约33cm.,零星的材料：卡呼恩（Kahun）纸草书和柏林纸草书，阿赫姆（Akhmin）木板书（约BC2000年左右）以及克索斯时代的羊皮书一卷-埃及数学的补充信息. 注意：希腊人认为他们的数学是从埃及来的，然而埃及数学只限于非常实用者，古埃

4、及人没有命题证明的思想，他们的数学完全是实用数学，完全找不到推理的数学痕迹，而古希腊却有.,3、古埃及的算术知识：,（1） 古埃及人的计算具有迭加的特点： 任何自然数都可由2的各次幂的和组成. 例如： 计算 2731 *1 31 *2 62 4 124 *8 248 + *16 496 - 837,例：计算74526，只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过745为止. 1 26 2 52 745 = 416+329 *4 104 = 416+208+121 *8 208 = 416+208+104+17 + *16 416 将上述带（*）号的各项相 - 加，得商为16+8+4=28 28

5、其余数为17.,（2）、 分数的记法和计算,单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单位分数（分子为1的分数）的和的形式（2/3例外）. 埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用 （读作ro）表示分数线，将 或点的记号放在数的上方用来表示分数.,例如： 某些特殊的分数记号，如,兰德纸草书中数表：将所有分子为2而分母从5 -101的奇数表示为单位分数之和. 2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18 . 2/97=1/56+1/679+1/776 2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/

6、303+1/606,利用此表可进行分数计算 例如，要用521，可写成单位分数之和 运算程序如下： 5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42 注意：加倍程序和单位分数概念,兰德纸草书第70题： 求100(7+1/2+1/4+1/8)的商. 答：12+2/3+1/42+1/126. 解：将除数逐渐加倍： 15+1/2+1/431+1/263，是除数的8倍; 另外，除数与8+4+2/3相乘得 ， 比被除数100小1/4.,调整：因除数的8倍

7、是63，故 (7+1/2+1/4+1/8)2/63=1/4 由2/n数表查得 2/63=1/42+1/126， 于是 100(7+1/2+1/4+1/8) = 8+4+2/3+2/63 = 12+2/3+1/42+1/126.,埃及人为什么对单位分数情有独钟，原因尚不清楚. 这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进一步发展，这也是古埃及算术和代数不能发展到更高水平的原因之一. 但是这种方法对于解决食物分配和土地分配问题却十分方便. 例如，平均分食物的7个面包8个人分. 7/8 = 1/2+1/4+1/8,（3）、完成了基本的算术四则运算 （4）、已经有了求近似平方根的方法 4、古埃及的代数： 、有渐

8、进的代数，但叙述方式是文词（即文词代数阶段），很少引用符号； 、比例的概念也已有萌芽； 三角函数观念的萌芽 、一元一次方程求解 即形如 或 某些二次方程,、等差级数和等比级数的概念及其求和 例1、兰德纸草书中有一方程问题：有一数量，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33. 用现代的记号是： 只不过分数部分写为 28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. 古埃及人把未知数称为“堆”（aha), 例2、兰德纸草书中的第24题：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值. “假位法”（method of false positio

9、n）先假设一个特殊的数作为“堆”的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答案. 在上例中，用数7作为未知数x的实验值，于是有，左边= 而应得的结果是19，这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8，将7乘以（2+1/4+1/18）即得正确的“堆”值为16+1/2+1/8.,例3、算术级数问题：5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数，并且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和-下伪法（regula falsi） 解： 先令第一项最大，这使得公差是负数.令首项和公差分别为a和d,写出了 于是公差为最小项的11/2倍，设

10、最小项为1. 于是得级数： 但和为60,为满足条件，各项5/3， 最后得：,例4、几何级数（等比级数）.兰德纸草书第79题：是在数字 7，49，343，2401，16807 旁边各注有图人，猫，鼠，大麦，量器等字样，而且给出总数为19607. 问这个题目产生的是什么数列？总数是多少？-有答案无解法. “出门望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有九鸟，鸟有九毛，毛有九色.”,5、古埃及的几何： 在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关. 由此可知，古埃及的几何很发达. 几何问题多是讲度量法，涉及到田地的面积，谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名

11、的“金字塔之迷”就是其中的代表.,（1）、法老胡夫的金字塔(Pyramid)： 兴建于齐阿斯王朝（BC2900年左右），高146.5米，塔基宽 233米，底边长度的误差为1.6厘米，正方程度与水平程度的平均误差1/10000，塔高与塔基之比非常近似于圆的周长与其半径之比.用以砌塔的巨石达230万块，重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头凿成平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时间才建成的.,N.Khufu Pyramid,（2）、阿蒙神庙(Oman Tamples)：阿蒙埃及的太阳神.王殿总面积5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高

12、达21米.,、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他几何图形近似计算. 如：任意四边形的面积 、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况. 、圆的面积很好的近似. Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地，其面积=边长为8的正方形土地. 由此可知，圆面积为 ，其中 为直径，相当于取=3.1605，误差为0.6%.,、体积的计算 正四棱台的体积最高成就. 直棱柱(圆柱)的体积等于底面积乘以高. 、半球表面积的计算公式. 、知道相似三角形. 、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上，已经有了正确的知识.,结束语： 静止的特性-产生于约BC1700年左右的兰德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，在数千年漫长的岁月中很少变化. 加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复. 古埃及人的面积、体积算法对精确的公式