高一数学学前必会

1、高一数学初高中衔接专题一.数与式的运算一、知识回顾1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离2、 从绝对值式的有关知识易得若|x|a（a0），则有xa或x-a.若|x|a（a0），则有-axa.3、 由1可得到解一般简单绝对值不等式的基本方法：对形如|ax+b|c（c0）的绝对值不等式只需将绝对值内的式子视为整体，可得（1）|ax+b|cax+bc或ax+b-c（c0）.（2）|ax+b|c-cax+bc（c0）.二

2、、典例讲解：例1 解等式：(1)、 ( 2)、例2、解不等式：（1） （2） |1-2x|5; |5x-6|4（5）、三、巩固练习：1、填空：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.（3）化简：|x5|2x13|（x5） 2选择题：下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则3解不等式： |x+2|3； (2) ； （3） ； （4）|6-4x|5(5) 专题二 、因式分解一、知识回顾：1、因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法（1）提公因式法（2） 运用公式法：运用公式法因式

3、分解时，常用公式如下：平方差公式：；完全平方公式：立方和（差）公式：三数和平方公式 ： ；两数和立方公式 ： ；两数差立方公式 ： （3） 分组分解法定义：把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法（4） 求根法十字相乘法（1）定义：借助画十字交叉线分解系数把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法（2）具体步骤：将二次三项式ax2+bx+c分解因式时，首先，把分解成，并把，排列如下 然后，按交叉线相乘，再相加，就得到如果它正好等于b，那么ax2+bx+c=（）（），其中自学例题： 运用“ 十字相乘”进行分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如

4、图111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1142611图1131211图11212xx图111 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图111中的两个x用1来表示（如图112所示）（2）由图113，得x24x12(x2)(x6)（3）由图114，得11xy图115 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图115所示）（6）、关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可

5、分解为.2、因式分解的一般步骤：多项式的各项有公因式的，先提取公因式。各项没有公因式时，要看能否用公式来分解，二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式或十字相乘法。如果用上述方法不能分解，再看能否运用分组求解法因式分解必须进行到每一个多项式都不能再继续分解为止。3、因式分解的需要注意的事项（A） 因式分解因式及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能不能分解和怎样分解（B） 当二次项系数为1时，如果能把二次三项式x2+px+q的常数项q分解成两个因数a、b的积，使a+ b正好等于一次项系数p，那么x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=（x+a）（x+b

6、）练 习1选择题：多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）二、典例讲解例1、 将下列各式分解因式（1） （2）4x（x-y）+2y（y-x） （3）x2（x-y）+4（xy-x2）例2、（1）3a2b-27b3 （2）a2+b2+2ab+4a+4b+4 （3）25（a+b）2-16（b-a）2例3.因式分解（1）x3-1 （2）x6-y6 （3）x3+x2y+xy2+y3例4.在实数范围内把下列关于x的二次三项式因式分解（1）x2+2x-1 （2）x2+4x-4 (3) 2x2-4x-2 （4） （5）

7、例5、将下列各式因式分解（1）2x2-x-15 （2）（x+y）22（x+y）-24 （3）3x2+11x+10 （4）4x2-4x-15 (5)(x2+x)2-8(x2+x)+12例6、把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）三、巩固练习（一）、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_2、3、若则，。（二）选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 （三）、因式

8、分解1. 在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）（5）. 2a3+6a2-10a（6）、（7）、 （ 8）、 （9）、x2-(2a+1)x+a2+a （10）、专题三、一元二次方程、二次函数与一元二次不等式解法一知识回顾（一）、根的判别式：对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；（3）当0时，方程没有实数根（二）、 根与系数的关系（韦达定理）如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程

9、x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20（三）、二次函数与二次不等式解法关系1、请同学们画出二次函数yx2x6的对应值表与图象如下：x32101234y根据图像思考以下问题：1）一元二次方程x2x60的解为：_；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x

10、60的解为_一元二次不等式x2x60的解为_上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集 那么，怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？2）我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解xyOx1x2xyOx1= x2yxO图2.32我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax

11、2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知：不等式ax2bxc0的解为xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为x1xx2（2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知：不等式ax2bxc0的解为

12、x； 不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式亲爱的同学们你能总结刚学到的知识吗？赶快试一下吧判别式000二次函数yax2bxc（a0）图像方程ax2bxc0两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，ax2bxc0的解集ax2bxc0的解集ax2bxc0

13、的解集ax2bxc0的解集解集（四）分式不等式的解法：形如1、解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）（2）解题方法：数轴标根法。解题步骤： （1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。二、典型讲解例1 判定下列关于x的方程的根的情况（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0例2、 解下列一元二次不等式：（1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90；（5）4xx20 （6）-x2+3x+40例3、解下列分式不等式 例

14、4、（1） 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值（2） 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值（3） 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23（4）、 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围三、巩固练习：1解下列不等式：（1）x2x120； （2）168xx20（3） （4）（5） （6）（7） （8）2、解分式不等式（1）、 （2）（3）、 （4 ）、 （5）、 （6）、3选择题：（1）方程的根的情况是

15、（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 1选择题:（1）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1