高中数学-数列求前n项和方法汇总及练习

1、高中数学-数列求和方法汇总及经典练习（含答案）一、公式法:利用以下公式求数列的和1. (为等差数列)2. ()或(为等比数列)3. 4. 等公式例已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。解：由题意，是首项为，公差为的等差数列前项和，二、分组求和法对于数列，若且数列、都能求出其前项的和，则在求前项和时，可采用该法例如：求和： 解：设 三、倒序相加法（或倒序相乘法）将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。1倒序相加法例 设，利用课本中推

2、导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为： 。解：因为f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.设S=f（5）+f（4）+f（6），则S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3.2倒序相乘法例如：已知、为两个不相等的正数，在、之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积解：设插入的这个正数为、且数列、成等比数列则 又 由得 四、错位相减法对于数列，若且数列、分别是等差数列、等比数列时，求该数列前项和时，可用该方法。一般在已知和式的两边都乘以组成这

3、个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，就是错位相减法。例 已知数列：，求数列前项和 解：在上式两边同乘以(或除以)等比数列的公比3，得由（两等式的右边错位相减） 五、裂项相消法对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式它适用于型（其中是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见的裂项方法有：1 234还有：；等。例 已知数列：，求数列前项和 解： 六、并项法例 已知 则 解

4、： 同理 七、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和也称分组求和法.例 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设将其每一项拆开再重新组合得：Sn 八、累加法给出数列的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。例 数列的前项和为，已知，求解：由得：，即， ，对成立。由，累加得：，又，所以，当时，也成立。经典高考练习题1. 已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（）求；（）设，求数列2. 已知数

5、列满足递推式，其中 （）求； （）求数列的通项公式； （）求数列的前n项和3 已知数列的前项和为，且有，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和。4. 已知数列满足，且（）求，；（）证明数列是等差数列；（）求数列的前项之和5. 数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和6. . 求证：数列bn+2是公比为2的等比数列； ；.7. 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且 的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和Tn.8. 已知是数列的前项和，且，其中. 求证数列是等比数列；求数列的前项和.9. 已知是数列的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设

6、）. （I）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （II）设的前n项和，求.经典高考练习题参考答案1.解析：设该等差数列为，则，即：， ， ，的前项和当时， （8分）当时，2.解：（1）由知解得：同理得 （2）由知构成以为首项以2为公比的等比数列；为所求通项公式 （3）3.解：由，又，是以2为首项，为公比的等比数列， （1） （2）（1）（2）得即： ，4解：（）， （）， 即数列是首项为，公差为的等差数列 （）由（）得 5.解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，当时，（），当时，；当时，得：又也满足上式，6.解： 数列bn+2是首项为4公比为2的等比数列； 由知 上列（n-1）式子累

7、加：.7.解：（1）设等差数列的公差为，则解得. （2）由 8.解：又也满足上式，（）数列是公比为2，首项为的等比数列（2）由， 于是 9.解析：（I）两式相减： 是以2为公比的等比数列，（II）而数列运算中整体思想简化计算一、 整体代入把已知条件作为一个整体，直接代入或组合后代入所求的结论。例1：在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=( )A.12 B.10 C.8 D.2+log35解析：log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5=5log39=52=10，故应选B。例2：等差数列a

8、n的前10项和S10=100，前100项和S100=10，则前110项和S110等于（ ）A.-90 B.90 C.-110 D.110解析：S100-S10=a11+a12+a100=45(a1+a110)=-90，a1+a110=-2故S110=-110，所以应选C。二、 整体求解把所求的结论作为一个整体，由已知条件变形或计算便得。例3：在等比数列an中，若a10，且a2a4+2a3a5+a4a6=16，则a3+a5的值为_。解析：由已知条件得a32+2a3a5+a52=16，即(a3+a5)2=16，解之得：a3+a5=4。a10，a2n-10，故a3+a5=4。例4：设等差数列an的前

9、n项和为Sn，若S120，S130，得a6+a70；又S13=13a70，故S6最大。三、 整体转化把求解的过程作为一个整体，寓整体于转化之中。例5：已知等差数列an和等比数列bn满足条件：a1=b1=a0，a2n+1=b2n+1=b。试比较an+1与bn+1的大小。解析：由a1=b1=a0，知a2n+1=b2n+1=b0。an+1-bn+1=，故an+1bn+1。四、 整体换元把陌生的或复杂的式子进行整体换元，这是一种化生为熟、以简驭繁的解题策略。例6：已知等差数列an的前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32，求公差d。解析：设前12项中奇数项和与偶数项和分别为S奇

10、和S偶，则有，据此得：，即，解之得：S奇=162，S偶=192。故由S偶-S奇=6d=30，解之得：d=5。五、 整体假设把不确定的结论假设成一个整体，这是解决开放性问题的有效方法。例7：已知等比数列an的首项a10，公比q0，q1；等差数列bn的公差d0，问是否存在一个常数a，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。解析：假设存在常数a，使得logaan-bn=k（定值） 则logaan+1-bn+1=k(定值) -得：loga(bn+1-bn)=0，即logaq=d，解之得a=，故存在一个常数a=，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。六、 整体构造把局部的构造成一个整体，这是在整体中求发展的一大创举。例8：若等差数列an的m项和与前n项和分别记为Sm与Sn，且(mn)。求证：。证明：=。“裂项相消法”的两种用途裂项相消法用在数列求和和证明不等式 一、用于数列求和例1、求数列的前项的和解：数列的通项，所以点评:分式的求和多利用此法常见的拆项公式有：；等等例、设数列的前项和为，若对于N*，恒成立