镜像法及其应用

1、镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法镜象法来求解这类问题。镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的

2、泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。下面我们举例说明。1导体平面的镜像例.1在无限大的接地导电平面上方处有一个点电荷，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。解建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为；场区的源是电量为位于点的点电荷，边界为面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为面上电位为零。图3.2.1导电平面上方的点电荷图3.2.2点电荷的镜像电荷 导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。 现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷和，分别位于和点，使得面的电位为零，如图3.2.2。这

3、种情况，对于的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况区域的电位是相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这两种情况，对区域的场来说，后一种情况位于点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程： （3.2）边界条件为

4、： （3.3） （3.4）图3.2.3点电荷对无限大接地导体平面的镜像电荷在处放一镜像电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，并将区域换成真空。判断能否代替的标准是看代替后在区域内所产生的场是否仍满足方程(3.2)和边界条件(3.3)、(3.4)。与在的区域内产生的电位为（3.5）时，式（3.5），因此新系统对边界条件（3.3）自然满足。同时，式（3.5）也满足式（3.4）的边界条件。在的区域内的电位为 （3.6）式（3.6）既满足方程（3.2），又满足边界条件式（3.3）、（3.4），由解的唯一性定理可知，它就是原问题所求的电位解。为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式(3.

5、6)可求出上半空间的电场为在的平面上，只有即法向电场分量存在，亦即根据导体表面的边界条件，导体表面上的感应电荷面密度为 （3.7）上式表明，在导体表面上并不是均匀分布的，但它的总感应电荷为 （3.8）感应电荷总量与镜像电荷总量相等。这一结论是合理的，因为点电荷所发出的电力线全部终止在无限大的接地导体平面上。 讨论：1）镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电荷应放在所研究的场区之外。2）镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。不过很多时候是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大小。3）既然用镜像电荷代替了感应

6、电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面（或介质面）不存在了，把整个空间看成是无界的均匀空间。所求区域的电位等于给定电荷所产生的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。例2两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域，直角区有一点电荷，如图3.2.4所示。求直角区域中的电位分布。题6图图3.2.4直角区域中的点电荷和镜像解建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于平面，设其坐标为。现在，待求场区为的区域，边界面为面与，在边界面上电位为零。容易看出，对于如图3.2.4所示的空间有相对坐标面对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边界条件。因此，可通过这四

7、个点电荷求解待求场区的场，即式中，镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面和直角形导电面的情况，所有相交成(为正整数)的两个接地导体平面间的场（），都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数为。2导体球面的镜像例.3有一点电荷置于半径为的接地导体球外，距球心距离为处，计算导电球外的电位分布。解设想有一镜像电荷位于球面内点电荷与球心的连线上距球心为处，如图3.2.5所示，球外任意点处的电位为 （3.9）为满足边界条件，应有 （3.10）即 （3.11）图3.2.5点电荷与接地导体球面的镜像AB取球面上两个特殊点和，将两点的坐标分别代入（3.9）式。在点，有在点，有则有 （3.12） （3.13）由（3.12）

8、、（3.13）两式可解得 （3.14）这里，是因为所发出的电力线并不全部终止在导体球上，有一部分将终止在无限远处。将（3.14）式代入（3.9）式，即得到球外任意点的电位为（3.15）电场强度为，所以 因为对球面上的点有，所以在的球面上，而球面上的感应电荷面密度为 球面上感应电荷总量为 感应电荷总和与镜像电荷相等，这与预期的结果一致。点电荷所受到的导体球的作用力为 （3.16）负号表示为吸力。讨论：1） 导体球不接地，则此时的边界条件是：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，而球面上的净电荷为零。为满足导体球面的边界条件，如图3.2.6所示，需在球心处再加上一个像电荷，以保持球面仍为等位面。

9、此时，球外任意点的电位为图3.2.6点电荷与不接地导体球面的镜像 （3.17）由前可知，上式中的第一、二项共同作用在球面上，使球面的，则球的电位为 即导体球不存在时，点电荷在O点产生的电位。2） 导体球不接地，带有总电荷为，则边界条件为：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，球面上的净电荷为零，球面的总电荷量为。在球内处放一像电荷，和球外的使球面上的电位为零，把电荷量放在球上，则球面上的感应电荷总量为零，球上的电荷量便为了。根据叠加原理，应均匀分布上球面上，对于球外点，此电荷产生的电位等于它集中在球心所产生的电位，即 （3.18）3） 点电荷位于电位为的导体球附近时，有，此时相当于在球心放置

10、了电荷量为的点电荷，即故 （3.19）4） 均匀电场中的导体球如图3.2.7所示，均匀电场可看作是在无穷远处的两个正负电荷产生的，故有图3.2.7均匀电场中导体球的镜像当时，（3.20）另一种解法：这里来研究一个导体球面的镜像问题。如图所示， 在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一点电荷q。根据问题的对称性，可设镜像电荷(q)放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。虽然有（178）于是，球外任意点P的电位为（179）由此可知，点电荷附近接地导体球的影响，可用位于距球心b处的镜像电荷(q)来表示。也即(q)代替金属球面上感应电荷的作用。 镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。如图13

11、0所示，平面分界面S的左、右半空间分别充满介电常数为 与 的均匀介质，在左半空间距S为d处有一点电荷q，求空间的电场。设左半空间电位为 ，右半空间电位为 这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q所产生(这时介电常数 的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的像电荷q单独产生(这时介电常数为 的介质布满整个空间)。故两介质中的电位表达式为（180） （181）（182） （183）例4不接地空心导体球的内、外半径分别为和，在空腔内距球心为处放置点电荷，在球外距球心为处放置点电荷，且与球心共线，如图3.2.8所示，求点电荷和分别受到的电场力。图3

12、.2.9空心导体球内表面的镜像图3.2.8不接地的空心导体球解由于球壳不接地，点电荷在球壳的内表面上感应电荷为，在球壳的外表面上感应电荷为；而则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。球壳内表面上的感应电荷可用一个镜像电荷等效代替，球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷等效代替。受到的电场力等于对的作用力，受到的电场力则等于对的作用力之和。根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为，位于如图3.2.9所示。图3.2.10空心导体球外表面的镜像外表面上的感应电荷的镜像电荷为，位于，位于，位于如图3.2.10所示。点电荷受到的静电力为点电荷受到的静电力为3线电荷对导体圆柱面的镜像例.5在半径为的无限长

13、接地导体圆柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷，线电荷密度为，与圆柱轴线的距离为，求柱外任意点的电位。解无限长带电直线的电位为 （3.21）图3.2.11线电荷与导体圆柱的镜像B其中为带电直线到电位零点的距离,为带电直线到场点的距离。如图3.2.11所示，设镜像线电荷为，距O点的距离为，若取点为无限长线电荷的电位参考点，则有（3.22）对于柱面外任意一点，有 （3.23） （3.34）将式（3.22）、（3.23）、（3.24）代入边界条件（3.21）中，得 （3.35）满足上式的一组最简单的解为柱外任一点的电位为 （3.36）4点电荷对无限大介质平面的镜像图3.2.12点电荷与两种介质分界

14、面例6在无限空间中有两种介质，介电常数分别为和，其分界面为平面，在上半空间的处放一点电荷，如图3.2.12所示，求两种介质中的电位分布。解空间中任意一点的电场是由点电荷与介质分界面上的极化电荷共同产生的，在这种情况下，镜像电荷的作用就等效于介质分界面上的极化电荷对电场的贡献。取分界面为的平面，且点电荷在轴上。设上半空间电位为，下半空间电位为。和应满足下列定解条件：在计算介质1中的电位时，用介质2中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质，如图3.2.13所示。在计算介质2中的电位时，用介质1中的镜像电荷来代替点电荷与分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介

15、电常数为的均匀介质，如图3.2.14所示。在介质1、2中任一点的电位分别为图3.2.13介质1中的镜像电荷 （3.37） （3.38）图3.2.14介质2中的镜像电荷显然，、均满足定解条件1）、2），再利用边界条件3）可确定和的值，其中在界面上，利用边界条件3）得到 上两式联立求解，可得 式中，称为介质2对介质1的反射系数，称为透射系数。介质中的电位分别为 （3.39） （3.40）注：边值问题的分类： 根据问题所给的边界条件不同，边值问题分为以下三类：1） 第一类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位值，又称为狄里赫利问题；2） 第二类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位法向导数值，又称为纽曼问题；3） 第三类边值问题是指所给定的边界条件部分为电位值，部分为电位法向导数值，又称为混合边值问题。如果边界是导体，则上述三类问题变为：已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面的电位和另一部分导体的电荷量。 注:点位即电势。唯一性定理： 在边值问题的求解中，对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维