初中数学一题多解题;

1、 初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x2-1=323x2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-

2、17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x2-1=323x2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z

3、的值是不可能的，但注意到所求的是的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 解1：，得 ，得 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为 解之得： 2. 主元法 解3：视x、y为主元，视z为常数，解、 得， 解4：视y、z为主元，视x为常数，解、 得 解5：视z、x为主元，视y为常数，解、 得 3. “消元”法 解6：令，则原方程组可化为 解7：令，则原方程组可化为 解8：令，则原方程组可化为 4. 参数法 解9：设，则 ，得 ，得 由、得 即 5. 待定系数法 解10. 设 则比较两边对应项系数，得 将其代入中，得 附

4、练习题 1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5吨） 2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）平面几何在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法

5、有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、（增加题1的条件）ae平分bac交bc于e，求证：ce：eb=cd：cb20、（增加题1的条件）ce平分bcd，af平分bac交bc于f求证：（1）bfce= bedf （2）aecf （3）设ae与cd交于q，则fqbc21、已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，以cd为直径的圆交ac、bc于e、f，求证： ce：bc=cf：ac（注意本题和16题有无联系）22、已知，abc中，acb=90度

6、，cdab，d为垂足，以ad为直径的圆交ac于e，以bd为直径的圆交bc于f，求证： ef是o1和o2的一条外公切线23、已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，作以ac为直径的圆o1，和以cd为弦的圆o2，求证：点a到圆o2的切线长和ac相等（at=ac）24、已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，e为acd的中点，连ed并延长交cb的延长线于f，求证：df：cf=bc：ac25、如图，o1与o2外切与点d，内公切线do交外公切线ef于点o，求证：od是两圆半径的比例中项。题14解答：因为cd2=addb ac2=adab bc2=bdab所以1/ac2+1/bc2

7、=1/（adab）+1/（bdab）=（ad+db）/（adbdab）=ab/adbdab=1/adbd=1/cd215题解答：因为m为ab的中点，所以am=mb，ad-db=am+dm-(mb-dm)=2dmac2-bc2=ad*ab-db*ab =(ad-db)ab =2dm*ab26、（在19题基础上增加一条平行线）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ae平分bac交bc于e、交cd于f，fgab交bc于点g，求证：ce=bg27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ae平分bac交bc于e、交cd于f，fgbc交ab于点g

8、，连结eg，求证：四边形cegf是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ae平分bac交bc于e、交cd于f，求证：ce=cf29、（在23题中去掉一个圆）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，作以ac为直径的圆o1， 求证：过点d的圆o1的切线平分bc30、（在19题中增加一个圆）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ae平分bac交bc于e，交cd于f，求证：ced平分线段af31、（在题1中增加一个条件）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，a=30度，求证：bd=ab/4（沪科版八年级数学第117

9、页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，作bce=bcdp为ac上任意一点，直线pq交cd于q，交cb于m，交ce于n求证：pq/pn=qm/mn32题证明：作nscd交直线ac与点s，则pq/pn=cq/sn又bce=bcdqm/mn=cq/cn（三角形内角平分线性质定理）bce+ncs=bcd +acdnscd，nsc=acdnsc=ncssn=cnpq/pn=qm/mn题33在“题一中”，延长cb到e，使eb=cb，连结ae、de，求证：deab= aebe题33证明cb2= bdab因eb=cbeb2= bdabeb：bd=ab

10、：be又ebd=abeebdabeeb：ab=de：aedeab= aebe题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ae平分cd于f，egab交ab于点g，求证：eg2= beec证明：延长ac、ge，设交点为h，ebgehceb：eh=eg：eceheg= beec又hgcd，cf=fdeh=egeg2= beec题35（在题19中增加点f）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ae平分bca交bc于点e，交cd于f，求证：2cffd = afef题36、（在题16中，减弱条件，删除acb=90度这个条件）已知，abc中， cda

11、b，d为垂足，deac于e，dfbc于f，求证：ce/bc=cf/ac题37（在题17中，删除acb=90度和cdab，d为垂足这两个条件，增加d是ab上一点，满足acd=abc）已知，abc中，d是ab上一点，满足acd=abc，又ce平分bcd求证：ae2= adab题38已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，pc为abc的切线求证：pa/ad=pb/bd 题39（在题19中点e“该为e为bc上任意一点”）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，e为bc上任意一点，连结ae，cfae，f为垂足，连结df，求证：adfaeb题40：已知，abc中，acb=90度，c

12、dab，d为垂足求证：sadc：sbdc=ad：db题41已知，如图，abc中， cdab，d为垂足，且ad/cd=cd/bd， 求acb的度数。题42 已知，cd是abc的ab边上的高， d为垂足，且ad/cd=cd/bd， 则acb一定是90度吗？为什么？题43：已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，adc的内切圆o1，bdc的内切圆o2，求证：so1：so2=ad：db题44：已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，adc的内切圆o1的半径r1，bdc的内切圆o2的半径r2，abc的内切圆o的半径r，求证：r1+r2+r=cd 题45、已知，abc中，acb=9

13、0度，cdab，d为垂足，作以ac为直径的圆o1，和以bd为直径的圆o2，设o1和o2在abc内交于p求证： pad的面积和pbc的面积相等题45解：cap=cdp=dbp（圆周角、弦切角）rtapcrtbpdappd= bppc又apd和cpb互补（apc+bpd=180度）s pad=1/2appdsinapds pbd=1/2bppcsincpbs pad= s pbd题46（在题38的基础上变一下）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，pc为abc的切线，又ce平分acb交abc与e，交ab与d ， 若pa=5，pc=10，求 cdce的值题47在题46中，求sinpca

14、题48（由题19而变）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ae平分acb交bc于e，egab交ab于点g，求证：（1）ac=ag（2）、ag2= adab（3）、g在dcb的平分线上（4）、fgbc（5）、四边形cefg是菱形题49题49解答：题目50（题33再变）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，延长cb到e，使eb=cb，连结ae交cd的延长线于f，如果此时ac=ec，求证： af= 2fe题50解：过点e作emcf，m为垂足，则ad：db=ac2：cb2=4：1又db：em=1：2所以，ad：em=2：1adfemfaf：ef=ad：em=2：1af=2

15、ef题目51（题50中连一线）已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，延长cb到e，使eb=cb，连结ae交cd的延长线于f，连结fb，如果此时ac=ec，求证： abc=ebf（题51的几种解法）解法1、作acb的平分线交ab于点g，易证acgcefcg=ef证cbgebfabc=ebf题51解法2作acb的平分线交ab于点g，交ae于点p，则点g 为ace的垂心，gfce又aec=gce，四边形cgfe为等腰梯形cg=ef再证cbgebfabc=ebf题51解法3作acb的平分线交ab于点g，交ae于点p，则点g 为ace的垂心，易证apgcpf（aas）pg=pf又gpb=f

16、pb，pb=pbpbgfbp（sas）pbg=fbpabc=ebf题51解法4（原题图）由题50得，af=2efaf：ef=ac：be=2又caf=bef=45度acfebfacf=ebf又acf=cbaabc=ebf题51解法5作mece交cd的延长线于m，证abccme（asa）abc=m再证mefbef（sas）ebm=mabc=ebf题51解法6作点b关于点c的对称点n，连结an，则nb=2be，又由题50，af=2ef，bfanebm=n又abc=n（对称点）abc=ebf题51解法7过点c作chbf交ab于m，b为ce的中点， f为he的中点又由题50，af=2ef，h为af的中点

17、又chbfm为ab的中点mcb=mbc又ebm=mcbabc=ebf题目52（题50、51结论的引伸）已知，abe中，ac=ec，ace=90度，cdab交斜边ab于f，d为垂足，b为ce的中点，连结fb， 求证：（1）、af=2ef（2）、abc=ebf（3）、ebf= e+bae（4）、abf=2dac（5）、ab：bf=ae：ef（6）、cd：df=ae：af（7）、ad：db=2af：ef（8）、cd/dffa/aeeb/bc=1题目53 （题52的一部分） 已知如图，、ac=ce、acce、cb=be、cfab求证：、af=2ef、abc=ebf（题53的14个逆命题中，是真命题的请

18、给出证明）题目54（题53的逆命题1）已知如图，、af=2ef、acce、cb=be、cfab求证：、ac=ce、abc=ebf平面几何一题多变题目55（题53的逆命题2）已知如图，、ac=ce、af=2ef、cb=be、cfab求证：、acce、abc=ebf题目56（题53的逆命题3）已知如图，、ac=ce、acce、af=2ef、cfab求证：、cb=be、abc=ebf题目57（题53的逆命题4）已知如图，、ac=ce、acce、af=2ef、cb=be求证：、cfab、abc=ebf题目58（题53的逆命题5）已知如图，、cb=be、abc=ebf、acce、cfab求证：、af=2

19、ef、ac=ce题目59（题53的逆命题6）已知如图，、ac=ce、cfab、cb=be、abc=ebf求证：、af=2ef、acce题目60（题53的逆命题7）已知如图，、ac=ce、acce、abc=ebf、cfab求证：、af=2ef、cb=be题目61（题53的逆命题8）已知如图，、ac=ce、acce、cb=be、abc=ebf求证：、af=2ef、cfab题目62（题53的逆命题9）已知如图，、af=2ef、cfab、cb=be、abc=ebf求证：、ac=ce、acce题目63（题53的逆命题10）已知如图，、acce、af=2ef、cfab、abc=ebf求证：、ac=ce、c

20、b=be题目64（题53的逆命题11）已知如图，、cb=be、abc=ebf、acce、af=2ef求证：、ac=ce、cfab题目65（题53的逆命题12）已知如图，、ac=ce、af=2ef、cfab、abc=ebf求证：、acce、cb=be题目66（题53的逆命题13）已知如图，、ac=ce、af=2ef、cb=be、abc=ebf求证：、acce、cfab题目67（题53的逆命题14）已知如图，、ac=ce、acce、af=2ef、abc=ebf求证：、cb=be、cfab题目68已知如图，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，cm平分acb，如果sacm=30，sdcm=6

21、，求sbcd=？（题68解答）解：设sbcd=x,则sacm/ scmb=30/（6+ x）=am/mbsacd/ scdb=36/ x=ad/db又ac2= adabbc2= bdabac2/ bc2=ad/bdcm平分acb（am/ bm）2=ad/bd30/(6+x)2=36/x解方程得x=4或x=9sbcd=4或sbcd=9题目69已知如图，abc中，acb=90度，d 为斜边ab上一点，满足ac2= adab求证：cdab题目70已知如图，abc中，acbc,acb=90度，cm平分acb，且cm+cb=ac，求证：1/ac-1/bc=2 题70证明：过点m作mdbc，d为垂足，作m

22、dac，e为垂足，设me=x,ac=b,bc=a,则cm=2 x，ae=b-x,由ae/ac=me/bc，得(b-x)/b=x/a,x=ab/(a+b)又cm+cb=ac2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得：b2-a2=2ab两边都除以ab,1/ac-1/bc=2题目71(依题68变)已知如图，abc中（acbc），acb=90度，cdab，d为垂足，cm平分acb,且bc、ac是方程x2-14x+48=0的两个根，求ad、md的长。题目71解：显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，又acbcac=8，bc=6由勾股定理ab=10acdabc，得ac2= adab

23、ad=6.4cm平分acbam/mb=ac/cb解得，am=40/7md=ad-am=24/35题目72已知如图，abc中，acb=90度，ab=2ac，现在将它折成如右图的形状，这时顶点a正好落在bc上，而且amn是正三角形，求amn与abc的面积之比。题72解：acb=90度，ab=2acb=30度由题意，四边形aman是菱形，abmabcam/ac=bm/ab设am=x, ab=2ac=2ax/a=(2a-x)/2ax=2a/3由三角形面积公式，得samn：sabc=2：9题目73已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足求证：ab+cdac+bc题73的证明：由三角形面积公式，

24、得abcd=acbc2abcd=2acbc又勾股定理，得ab2=ac2+bc2ab2+2abcd =ac2+bc2+2acbc(等式性质)ab2+2abcd =（ac+bc）2ab2+2abcd+cd2 （ac+bc）2(ab+cd)2 （ac+bc）2又ab、cd、ac、bc均大于零ab+cdac+bc题目74已知，abc中，acb90度，cdab，d为垂足求证：ab+cdac+bc题74证明：如图，作cbac交ab于b,于是有abcd=acbc2abcd=2acbc又勾股定理，得ab2=ac2+bc2ab2+2abcd =ac2+bc2+2acbc(等式性质)ab2+2abcd =（ac+

25、bc）2ab2+2abcd+cd2 （ac+bc）2(ab+cd)2 （ac+bc）2又ab、cd、ac、bc均大于零ab+cdac+bc在abb中,bbcb-cb+得ab bb+cdac+bc cb-cbab+cdac+bc题目75已知如图，abc中， cdab，d为垂足，ct平分acb，cm为ab边上的中线，且acd=dct=tcm=mcb求证：acb=90度题目75的证明：延长ct交三角形abc的外接圆于n，连结mn，则n为弧ab的中点，所以mnab，又cdab，mncddct=tnm又dct=tcmtcm=tnmcm=nmcn的垂直平分线必过点m，又cm为ab边上的中线，mnabab的

26、垂直平分线必过点m，即m为两条弦的垂直平分线的交点，m为三角形abc的外接圆的圆心，因此ab为abc的外接圆的直径。acb=90度题目76已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，acb 的平分线cg交ab边上的中垂线于点g ， 求证：mc=mg 题目77已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，cm为ab边上的中线，cd是acb 的平分线，ac=75cm, bd=80cm,求cd、cm、ce的长题目78已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，e为abc上一点，且弧ac=弧ce，又ae交cd于m，求证：am=cm题目79（题78再变）已知，abc中，acb=90

27、度，cdab，d为垂足，e为abc上一点，且弧ac=弧ce，又bc交ae于g，连结be求证：bg2= abbe- agge题目80已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，e为abc上一点，且直线dc于直线be交于p，求证：cd2= dmdp题目81已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，e为abc上一点，且直线dc于直线be交于p，如果cd平分ae，求证： 2dmdp= beep题目82已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，e为abc上一点，且弧ac=弧ce，又直线ac与直线be交于h，求证： ab=bh题目83(由题44变)求证：直角三角形两条直角边的和

28、等于斜边与内切圆直径的和。题目84已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，mn切abc与c点求证： bc平分dcn题目85已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，mn切abc与c点，afmn，f为垂足，aemn，e为垂足，求证：cd=ce=cf 题目86已知，abc中，acb=90度， 以bc为直径的圆交ab于点d，以ac为半径的圆交ab于点e， 求证：bce=dce题目87（由题38图而变）求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。（提示：从（1）完备性、（2）纯粹性 两方面来证明。）题目88作图题：已知两线段之和及积，求作这两条线段。已知：两线段

29、m和n求作：两线段x及y,使x+y=m，xy=n2补个图（题88作法参考）ad、bd即为求作线段x、y题目89（由题88变）已知梯形abcd如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。题目90利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。题目89作法：如图，作两腰的延长线交于点o，作pbab使pb=oa，连结op，以op为直径作半圆m，由圆心m作mnop，交半圆于点n，再以o为圆心on为半径画弧交ab于点e，作efbc交cd于f，则ef即为所求线段。 题91(题73变)设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，求证：a+db+c题92（人教版数学八年级下114页

30、）在rtabc中，acb=90度，cdab，d为垂足，acd=3bcd，e是斜边ab的中点，ecb是多少度？题93（题49变）已知，17cosa+13cosb=17,17sina=13sinb,且a、b都是锐角，求a/2+b的值。题目93解：（构造法）分别以17、13为边作abc，使ac=17，bc=13，cd为ab边上的高，在rtadc中，ad=17 cosa，在rtbdc中，bd=13 cosb，cd=17sina=13sinb而ab=ad+db=17cosa+13cosb=17，ac=ab, b=acb,a+2b=180度a/2+b=90度。题94已知如图，abc的c的平分线交ab于d，

31、交abc的外接圆于e，若cdce等于abc面积的2倍求证：acb=90度题目95已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，cm平分acb 交ab于m，若acbc求证：dcm=1/2（b-a）题目96已知，abc中，acb=90度，cdab，d为垂足，ce为ab边上的中线，且de=dc，求abc中较小的锐角的度数。题目97已知，abc中，acb=90度，ce平分acb 交ab于e，且ec+bc=ac， 求ac/bc题97解：设bc=a,ac=b,过点e作ehbc交ac于点h，作efbc交bc于点f，则四边形chef为正方形，设eh=x.则ce=2x,由ah/eh=ac/bc，得(b-x

32、)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)由题意得，a+2x=bx=(b-a)/ 2a,(ab)/(a+b)= (b-a)/ 2a,得b2-2ab-a2=0b/a=(2+6)/2即ac/bc=(2+6)/2题目98已知，abc中，acb=90度，两直角边的差为22，cdab，d为垂足，bd-ad=23，求abc中的三边长。题目99 圆内接三角形abc中，直径ab=4，ab边上的高cd=23，求a的度数。题目100已知，abc中， cdab，d为垂足，b=2a求证：cb=ad-bd题目101已知，ab是的直径，ab=4， d是ob的中点，过点d的弦ceab，求弦ce的长。（题54的解答）已知如图

33、，、af=2ef、acce、cb=be、cfab求证：、ac=ce、abc=ebf证明：过点e作emcf如图，由adfemf得ad：em=af：fm=2又bd为cem的中位线，则bd：em=1：2ad：db=4：1=ac2:cb2ac：cb=2：1又cb=beac=ce(再由51的解答即有abc=ebf成立)题55的解答已知如图，、ac=ce、af=2ef、cb=be、cfab求证：、acce、abc=ebf证明：过点e作emcf，如图由adfemf得ad：em=af：fm=2又bd为cem的中位线，则bd：em=1：2ad：db=4：1不妨设db=x，cd=y,则ad=4x，由勾股定理得ac=（4x）2+y2,bc=（x2+y2）