2019数学(理)二轮教案：专题六第四讲排列、组合、二项式定理Word版含解析

1、第四讲排列、组合、二项式定理年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018卷排列、组合 T151.排列、组合在高中数学中占有特殊卷二项式中特定项系数 T5的位置，是高考的必考内容，很少卷 计数原理、排列、组合的应用 T 6单独命题，主要考查利用排列、组2017卷二项式定理、二项展开式中特定项的系合知识计算古典概型数T42.二项式定理仍以求二项展开式的卷 二项式定理、特定项的系数 T14特定项、特定项的系数及二项式系2016卷计数原理、组合的应用 T5数为主，题目难度一般，多出现在第 9 10 或第 13 15 题的位置上 .排列、组合应用授课提示：对应学生用书第69 页 悟通 方法结论 两个计数原

2、理解题的方法在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理求解排列、组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题 “捆绑法”；(2)元素不相邻的排列问题 “插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题 “除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题 间接法；(5)分组分配问题平均分组问题分组数计算时要注意除以组数的阶乘不平均分组问题实质上是组合问题 全练 快速解答 1 (2017 高考全国卷 )安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作1由 1 人完成，则不同的安排方式共有()A 12 种B 18 种C24

3、 种D 36 种答案： D2第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017 年 5 月 14 日至 15 日在北京举行， 为了保护各国国家元首的安全， 某部门将 5 个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有()A 96 种B 100 种C124 种D 150 种解析：因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5 个安保小组分成三组共有两种方法，一种是按照1,1,3 来分，另一种是按照2,2,1 来分1133当按照 1,1,3来分时，不同的分法共有N1C5C4C3A2A3 60(种 )；2当按照 2,2,1来分时，不同的分法共有N2C52C32C

4、113A2A3 90(种 )2根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N N1N2 150(种 )，故选 D.答案： D33 名男生、 3 名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为()A 2B 9C72D 36解析： 可分两步：第一步，把3 名女生作为一个整体，看成一个元素，3 名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 22种排法；第二步，对男生、女生“ 内部 ”分别进行排列，女生“ 内部 ” 的排法有 A 33种，男生 “ 内部 ” 的排法有A 33种故符合题意的排法种数为A 22 A 33 A 33 72，故选 C.答案： C4马路上有七盏路灯，晚上用时只

5、亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有 ()A 60B 20 种C10 种D 8 种解析： 根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1 种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5 个空位，在5 个空位中任意选3 个，插入三盏亮的路灯，有C35 10(种 )情况故不同的开灯方案共有10 1 10(种 )，故选 C.答案： C25某大学的6 名大二学生打算参加学校 的“ 界 漫 会”“大学生心理 生 会”“学生跆拳道 会”“ 天 保社 ”“ 琴 歌 会”5 个社 ，若每名学生必 参加且只能参加 1 个社 ，并且每个社 至多2 人参加， 6 人中至多有1 人参加“学生跆拳道

6、 会”的不同参加方法种数 ()A 1 440B 3 600C5 040D 6 840解析： 可分两 ：第一 ， 若有 1 人参加 “学生跆拳道 会 ”， 从 6 人中 1 人参加 社 ，其余 5 人去剩下 4个社 ，人数安排有两种情况，即1,1,1,2 和 1,2,2，故 1 人参加“学生跆拳道 会 ”的不同参加方法种数 1C15C41C314C52C32 3 3600；第二 ，若C6 (3 A42A 4)A 3A 2无人参加 “学生跆拳道 会 ”， 6 人参加剩下 4个社 ， 人数安排有两种情况，即 1,1,2,2221222C6C4C24C6C4C23和 2,2,2，故无人参加 “ 学生跆

7、拳道 会 ” 的不同参加方法种数 A22 A 22A 4A 33A 4 1440.故 足条件的方法种数 3 600 1 440 5 040，故 C.答案： C掌握分 、分配 的求解策略(1)分 属于“ 合 ” ，按 合 求解，常 的分 有三种：完全均匀分 ，每 的元素个数均相等；部分均匀分 ， 注意不要重复，若有n 均匀，最后必 除以n！；完全非均匀分 ， 种分 不考 重复 象(2)分配 属于“ 排列 ” ，可以按要求逐个分配，也可以分 后再分配(3)解决分 分配 的基本指 思想是先分 ，后分配二 式定理授 提示： 学生用 第70 页 悟通 方法 1 通 与二 式系数Tk 1 Cknan kb

8、k(k 0,1,2， n)，其中 Ckn叫作二 式系数2 各二 式系数之和3(1)C 0n C1nC2n Cnn 2n；(2)C 1n C3n C0nC2n 2n 1.3 二 式系数的最大 由n 的奇偶性决定当 n 奇数 ，中 两 的二 式系数最大；当 n 偶数 ，中 一 的二 式系数最大1(162(1)(2017 高考全国卷 )在 1 2 x)的展开式中 x 的系数 ()xA 15B 20C30D 35解析：(1 x)6 展开式的通 Tr 1 C6rxr1(1 x) 6 的展开式中 x2 的系数 1 C62，所以1x21 C6430，故 C.答案： C5的展开式中33的系数 ()(2)(20

9、17 高考全国卷 )(x y)(2xy)x yA 80B 40C40D 80解析： 当第一个括号内取x ，第二个括号内要取含x2y3 的 ，即 C53(2x)2( y)3，当第一个括号内取y ，第二个括号内要取含x3y2 的 ，即 C52(2x)3( y) 2，所以 x3y3 的系数 C5223 C53 22 10 (8 4) 40.答案： C2 01822 0181a2a3a2 018(3)若 (3x 1) a0 a1xa2x a2 018x(x R )， 332a1 33a1 32 018a1_.解析： 令 x 0，可得 a0 1.由通 公式可得a1 C2201801731( 1) 2 0

10、17 6054.令 x 1，3a1a2a3a2 0181 a2a3a2 0181a1a2 a3a2 018得 3 3233 32 0181， 332 a1 33 a1 32 018a1 a13 3233 32 0181 1 a1 6 054.答案：16 0541.公式法求特定 的 型及思路rnrr通 公式 T r 1 Cn ab 的主要作用是求展开式中的特定 ，常 的 型有：(1)求第 k ，此 r 1k，直接代入通 公式求解；(2)求含 xm 的 ，只需令x 的 指数 m 建立方程求解；(3)求常数 ，即 中不含x，可令 x 的 指数 0 建立方程求解；4(4)求有理项，先令x 的幂指数为整

11、数建立方程，再讨论r 的取值若通项中含有根式，一般先把根式化为分数指数幂，以减少计算错误2 赋值法研究二项展开式的系数和问题的策略“赋值法 ”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax b)n， (ax2 bx c)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x 1 即可；对形如 (ax by) n(a，b R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x y 1 即可 练通 即学即用 21 6的展开式中的常数项为 ()1 (2018 唐山模拟 )(x)xA 15B 15C20D 20r 2 6 r1 rrr 12 3r，令2解析： 依题意， Tr 1C6(x )()C6

12、( 1) x12 3r 0，则 r 4，所以 ( xx 1)6 的展开式中的常数项为 C46 ( 1)4 15，选择 A. x答案： A2(2018 长郡中学模拟 )若二项式2 a 7的展开式的各项系数之和为2项的(x )1，则含 xx系数为 ()A 560B 560C280D 2802a 7的展开式的各项系数之和为77 1,1解析： 取 x 1，得二项式 (x )(1 a)，即 (1 a)xa22 7的展开式的通项r2 7 r2 rrr14 3r1， a 2.二项式 (x )T r 1 C7(x )( ) C7( 2)x.xx令 14 3r 2，得 r 4.因此，二项式 (x2 2)7 的展

13、开式中含x2 项的系数为C74( 2)4 560，x选 A.答案： A授课提示：对应学生用书第154 页一、选择题1 (2018 宝鸡模拟 )我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7 个河滩主题公5园 提升城市品位、升 公园功能，打算减少2 个河 主 公园，两端河 主 公园不在 整 划之列，相 的两个河 主 公园不能同 被 整， 整方案的种数 ()A 12B 8C6D 4解析： 由 意知除两端的2 个河 主 公园之外，从中 5个河 主 公园中 整 2个，保留 3 个，可以从 3 个河 主 公园的4 个空中任 2 个来 整， 共有 C42 6 种方法答案： C2 (2018 凉山二 )(x

14、2 3)15 的展开式的常数 是()x21A 2B 2C 3D 321520 101 826344 25解析： (x 3) 2 1 (x 3)(C 5C5x C5 C5 C5 C5)，展开式xxxxx24 25的常数 是 xC5x 3C5 2.答案： B3(2018 漳州模 )已知 (2x 1)10 a0 a1x a2x2 a9x9 a10x10， a2a3 a9a10 的 ()A 20B 0C1D 20解析： 令 x 1，得 a0a1 a2 a9 a10 1，再令 x 0，得 a0 1，所以 a1 a2 a9 a100，又易知 a1 C910 21 ( 1)9 20，所以 a2 a3 a9

15、a10 20. 答案： D4 (2018 江模 内 )某科室派出4 名 研 到3 个学校， 研 校高三复 考近况，要求每个学校至少一名， 不同的分配方案种数 ()A 144B 72C36D 48C24C12C11解析： 分两步完成：第一步将4 名 研 按 2,1,1 分成三 ，其分法有 2 种；第二 A 2211步将分好的三 分配到3 个学校，其分法有3C4C2C1A 3种，所以 足条件的分配方案有2A3 3A 236 种答案： C5 有 5 本相同的数学家的眼光和3 本相同的数学的神韵，要将它 排在同一 架上，并且3 本相同的数学的神韵不能放在一起， 不同的放法种数 ()A 20B 120C

16、2 400D 14 4006解析： 根据 意，可分两步：第一步，先放 5 本相同的数学家的眼光，有 1 种情况；第二步， 5 本相同的数学家的眼光排好后，有6 个空位，在6 个空位中任 3 个，把 3 本相同的数学的神韵插入，有C3 20(种 )情况6故不同的放法有 20 种，故 A.答案： A6(2018 西安模 )已知 (x 2)9 a0 a1x a2 x2 a9x9， (a1 3a3 5a57a7 9a9)2(2a24a4 6a6 8a8)2 的 ()A 39B 3101112C3D 3解析： 对 (x 2)9 a0 a1x a2x2 a9x9 两 同 求 ， 得 9(x 2)8 a1

17、2a2 x 3a3 x2 8a8x7 9a9x8，令 x 1，得 a1 2a2 3a3 8a8 9a9 310，令 x 1，得 a1 2a2 3a3 8a8 9a9 32.所以 (a1 3a3 5a5 7a7 9a9)2 (2a2 4a4 6a6 8a8)2 (a1 2a2 3a3 8a89a9)(a1 2a2 3a3 8a89a9)312，故 D.答案： D7 有 5 种不同 色的染料，要 如 所示的四个不同区域 行着色，要求有公共 的两个区域不能使用同一种 色， 不同的着色方法的种数是()A 120B 140C240D 260解析： 由 意，先涂 A ，有 5 种涂法，再涂 B 有 4 种

18、涂法，第三步涂C，若 C 与A 所涂 色相同， C 有 1 种涂法， D 有 4 种涂法，若 C 与 A 所涂 色不同， C 有 3 种涂法， D 有 3 种涂法，由此得不同的着色方法有5 4(1 4 33) 260(种 )，故 D.答案： D8 (2018 明一模昆)旅游体 小李受某旅游网站的邀 ，决定 甲、乙、丙、丁 四个景区 行体 式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游， 小李旅游的方法数 ()A 24B 18C16D 10解析： 第一 ，甲在最后一个体 ， 有A3种方法；第二 ，甲不在最后一个体 ，312312 有 A 2A 2种方法，所以小李旅游的方法共有A 3 A

19、 2A 2 10 种7答案： D9 (2018 西安二模 )将 4 个 色互不相同的球全部放入 号 1和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于 盒子的 号， 不同的放球方法有()A 10 种B 20 种C36 种D 52 种解析： 1 号盒子可以放 1 个或 2 个球， 2 号盒子可以放2 个或3个球，所以不同的放球方法有 C41C33 C42 C22 10(种 )答案： Ax2y210从集合 1,2,3 ， 11 中任 两个元素作 方程a2 b2 1 中的 a 和 b， 能 成落在矩形区域B ( x， y)|x| 11，且 |y|9 内的 个数 ()A 43B 72C863D

20、 90解析： 在 1,2,3， ， 8 中任取两个数作 a 和 b，共有A2 8 56 个 ；在 9,10中取一个作 a，在 1,2,3 ， ， 8中取一个作 b，共有 A 21A 81 16 个 ，由分 加法 数原理，知 足条件的 的个数 56 16 72.答案： Bx1n 的展开式按 x 的降 排列， 若前三 的系数成等差数列， 则 n 为 ()11将42xA 6B 7C8D 911 r n3解析： 二 式的展开式 rx)n rrrr，由前三 系数成等差Tr 1 Cn(4 Cn2x224x021 211 12数列得 Cn Cn22Cn2 ，即 n 9n8 0，解得 n 8或 n 1(舍去

21、)，故 n 8.答案： C12 (2018 保定 量 ) 有 16 不同的卡片，其中 色、黄色、 色、 色卡片各4 从中任取3 ，要求 3 卡片不能是同一种 色，且 色卡片至多1 不同取法的种数 ()A 232B 252C472D 484解析： 由 意，不考 特殊情况，共有C3种取法，其中同一种 色的卡片取3 ，有164C43种取法，3 卡片中 色卡片取2 有 C42C121种取法，故所求的取法共有 C163 4C43 C42C121560 16 72 472 种， C.答案： C8二、填空题13 (2018 成都模拟 )(x 2y)5 的展开式中含 x3y2 项的系数为 _解析： (x2y)5 的展开式的通项 Tr 1 C5rx5 r (2y)r ，所以含 x3y2 项的系数即 r 2 时的系数，即 C2 22 40.5答案： 4014