2019年高考理科数学二轮专题复习讲义：专题五第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质Word含答案

1、第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质年份201820172016卷别考查角度及命题位置直线与抛物线的位置关系及应用T8卷双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系 T11卷双曲线的渐近线方程 T5椭圆的离心率 T12卷双曲线的离心率 T11直线与抛物线的位置关系T16卷抛物线中弦长最值问题T10双曲线的离心率 T15卷双曲线的离心率 T9抛物线中弦长问题 T16卷双曲线方程求法 T5椭圆离心率求法 T10卷抛物线与圆的综合问题T10卷双曲线的定义、离心率问题T11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离卷心率 T11命题分析及学科素养命题分析1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择

2、、填空题的形式考查，常出现在第4 11 或 15 16 题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等2.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20 题的位置，一般难度较大学科素养通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素养 .圆锥曲线的定义与标准方程授课提示：对应学生用书第49 页 悟通 方法结论 1圆锥曲线的定义1(1)椭圆： |PF1| |PF 2| 2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线： |PF 1| |PF 2| 2a(2a0 ，b0) 的渐近线方程为y x.注意离心率 e 与渐近线的斜

3、率的aba关系3抛物线方程中p 的几何意义为焦点到准线的距离 全练 快速解答 1 (2018 宁、柳州联考南)已知双曲线点重合，则该双曲线的渐近线方程为(1A y x322x y 1(b 0)的一个焦点与抛物线y2 8x 的焦3b)3B y 3 xCy 3xD y 3xx2y2解析： 由题意知，抛物线的焦点是(2,0) ，即双曲线 3 b 1 的一个焦点坐标是(2,0) ，则 c2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3 b 22，即 b 1，于是双曲线的渐近线方程为3y3 x，故选 B.答案： B22xy2(2018 贵阳模拟 )椭圆 C： a2 b2 1(a b 0)的左顶点为 A，右焦点为 F

4、，过点 F 且3垂直于 x 轴的直线交 C 于 P， Q 两点，若cos PAQ5，则椭圆 C 的离心率 e 为 ()1232A. 2B. 2C. 3D.3422b2222解析：根据题意可取 P(c，b)，Q(c，b)，所以 tan PAFa 2b a2 c a caaa c a aca aca2222cos PAF sin PAF 1 e， cos PAQ cos2 PAF cos PAF sin PAF cos2 PAF sin2 PAF 1 tan2PAF1 1 e 23222211 tan2PAF 1 1 e 25，故5 5(1 e) 33(1 e) ? 8(1 e) 2? (1 e)

5、 4.又椭圆的离心率 e 的取值范围为(0,1)，所以 1 e11， e .故选 A.22答案： A22，F是双曲线 y2x23(2018 惠州模拟 )已知 F 12a b 1(a 0， b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点 M 在以线段F1F 2 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A (1,2)B (2， )C(1， 2)D ( 2， )解析： 如图，不妨设F 1(0， c)， F2(0， c)，则过点F1与渐近线y a x 平行的直线为y ax c，联立，得bbabc，y bx c，x2a即 M( bc，c)因点 M解得a

6、yc，2a2y bx，2在以线段 F 1F 2 为直径的圆 x2 y2 c2 内，故 ( bc)2 (c)2 c2，化简得 b2 3a2，即 c2 a22a22，解得c 2 ，又双曲线的离心率ec 1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选3aaaA.答案： A4 (2018 高考全国卷 )已知点 M( 1,1)和抛物线 C： y2 4x，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C 交于 A， B 两点若 AMB 90，则 k _.解析： 法一：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则y12 4x1，y22 4x2，22y1 y24 y1 y2 4(x1 x2)， k x y .x1

7、2 y12设 AB 中点 M ( x0，y0)，抛物线的焦点为 F ，分别过点 A，B 作准线 x 1 的垂线，垂足为 A， B ，1 1则 |MM | 2|AB| 2(|AF | |BF|)51 2(|AA | |BB |) M (x0， y0)为 AB 中点， M 为 A B的中点， MM 平行于 x 轴， y1 y2 2， k 2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y k(x 1)，直线方程与y2 4x 联立，消去y，得 k2x2 (2k2 4)x k2 0.22k 4k ( 1 x2,1 y2) 由 M( 1,1)，得 AM ( 1 x1,1 y1)， BM

8、0，由 AMB 90，得 AMBM (x1 1)( x2 1) (y1 1)(y2 1) 0， x1x2 (x1x2) 1y1y2 (y1 y2) 1 0.又 y1y2 k(x1 1) k(x2 1) k2x1x2 (x1 x2) 1，y1 y2 k(x1 x2 2)， 12k2422k242k2 4k2 1 k 1k2 1 kk2 2 1 0，44整理得 k2 k 1 0，解得 k2.答案： 21椭圆、双曲线的离心率(或范围 )的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用 a，c 代换，求 ca的值2 双曲线的渐近线的求法及

9、用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1 改为零，分解因式可得ba(2)用法：可得a或 b的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系6授课提示：对应学生用书第50 页 悟通 方法结论 弦长问题设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线 AB 的斜率存在 (设为 k)，则 |AB|21|y1 y2|(k 0) ，其中 |x1 x2|x1 x22， |y1 y2|1 k |x1 x2|或 |AB|1 2 4x1x2ky1 y2 2 4y1y2；若直线AB 的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长(1)(2

10、018 山西八校联考 )抛物线 y2 2px(p0)的焦点为F，点 N 在 x 轴上且在点F 的右侧，线段 FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M，直线 MN 的倾斜角为135?， O 为坐标原点，则直线 OM的斜率为 ()A 2 2 2B 2 21C. 2 1D 3 2 4解析： 如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为 A，交 y 轴于点 B，设 |MF | t，因为点 M 在 FN 的垂直平分线上，且直线 MN 的倾斜角为 135?，所以直线 MF 的倾斜角为45?，由抛物线的定义得 t |MA | p22p (2 2)p，所以 |OB|2 t，即 t 2

11、 1 2t ( 2 1)p，|BM | t p 3 22 p，设直线 OM 的倾斜角为 ，则 OMB ，所以222直线 OM 的斜率为 tan |OB| 22 1 22 2，故选 A.|MB |3 22答案： A(2)(2017 高 考 全国卷)(12分) 设A ，B 为 曲 线C ：求直线 AB 的斜率；设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线且求直线 AB的方程学审题 条件信息想到方法注意什么72信息 ? ：曲线 yx4 上两点B 的横坐标之和为4信息 ? ：切线平行直线AB信息 ? ： AMBM设两点坐标， 作两点坐标满足A，方程的差， 结合斜率公式和横坐标的和来求解导数的

12、几何意义， 利用平行直线斜率相等可得 M 的坐标 ABM 为直角三角形及其性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(1) 利用两点的斜率公式时，两点的横坐标应不相等(2) 直线与曲线交于两点，联立方程消元后得到的一元二次方程的判别式大于 0 规范解答 设 A( x1 ， y1)， B( x2， y2)，则x1 x2， y1 x12， y2 x22， x1 x2 4 ，44(2 分 )于是直线 AB 的斜率 ky1 y2x1 x21.1 x24x(4 分 )由 yx2，得 y x.42x3设 M(x3， y3)，由题设知2 1，解得 x3 2，(6 分 )于是 M(2,1)设直线 AB 的方程

13、为 y x m，(8 分)故线段 AB 的中点为N(2,2 m)， |MN | |m 1|.x22将 y xm 代入 y4 ，得 x 4x 4m 0.当 16(m 1)0 ，即 m 1 时， x1,222 m 1.从而 |AB| 2|x1 x2| 4 2m 1 .(10 分 )由题设知 |AB | 2|MN |，即 42 m12(m 1)，解得 m 7(m 1 舍去 )所以直线 AB 的方程为 x y 70.(12 分)直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想， 化归思想及数形结合思想， 着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1) 设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存

14、在和不存在进行讨论，或将直线方程设成 x my b 的形式；(2) 联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系8 练通 即学即用 21 (2018 高考全国卷 )已知双曲线 C： x y2 1，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，3过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为M，N.若 OMN 为直角三角形， 则 |MN | ()3B 3A. 2C2 3D 4解析： 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y 1x.313设两渐近线夹角为 2，则有 tan 3 3 ，所以 30.所以 MON 2 60.又 OMN 为直角三角形，由于双曲

15、线具有对称性，不妨设MN ON，如图所示在 RtONF 中， |OF | 2，则 |ON| 3.则在 Rt OMN 中， |MN | |ON| tan 23tan 60 3.故选 B.答案： Bx2y22(2018 洛阳模拟 )已知短轴的长为 2 的椭圆 E：a2b2 1(a b 0)，直线 n 的横、纵3截距分别为 a， 1，且原点 O 到直线 n 的距离为 2 .(1)求椭圆 E 的方程；(2)直线 l 经过椭圆 E 的右焦点 F 且与椭圆 E 交于 A， B 两点，若椭圆E 上存在一点 C满足 OA3OB 2OC 0，求直线 l 的方程解析： (1)椭圆 E 的短轴的长为 2，故 b 1

16、.依题意设直线n 的方程为 x y 1，由13，解得 a3，故椭圆 E 的方程为 x2a11232ay21.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3) ，当直线 l 的斜率为0 时，显然不符合题意当直线 l 的斜率不为0 或直线 l 的斜率不存在时，F(2，0) ，设直线 l 的方程为x ty2，2x y2 1，由3得 (t 2 3)y2 22ty 1 0，x ty2，9 y1 y2 222t， y1y2 2 1， t 3t 31313y2， OA3OB 2OC 0， x3 x12x2， y3 y1222又点 C 在椭圆 E 上，x3221 1321y13y2)2

17、1 x122 3 x2223 1x1x2 y1y2)1， y3 ( x12x2) (2( y1)( y2) 2(33 224 343322x12x22又3 y1 1，3 y2 1，1 x1x2 y1y20， 3将 x ty 2， xty 2及代入得t2 1，即 t 1或 t 1.1122故直线 l的方程为xy2 0或 x y2 0.授课提示：对应学生用书第143 页一、选择题x2 y2 1 的渐近线方程为 ()1 (2018 广西南宁模拟 )双曲线 25 2045A y xB y x54125Cy xD y 5x5解析： 在双曲线x2y25，而其渐近线方程为b 1 中， a 5，b 2y x，

18、其渐近2520a25线方程为 yx，故选 D.5答案： D22x y22与椭圆的一个交点M 在 x2已知椭圆 C 的方程为 16m1(m 0)，如果直线 y2 x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则 m 的值为 ()A 2B 22C8D 2316 m2， 2在椭圆 x22解析：根据已知条件得c16 m2，则点16 m2 y2 1(m216m100) 上，16m216 m22 1，可得 m 2 2.162m答案： B223(2018 张掖模拟 )双曲线 x2y2 1(a 0，b 0)的渐近线与圆x2 (y 2)2 1 相切，则ab双曲线的离心率为 ()A. 2B.3C 2D 3解析： 双曲线x2y

19、22 (y2)2(0,2) 到直线 bx ay22 1的渐近线与圆 x 1 相切，则圆心ab0 的距离为 1，所以2a2ac 2，故选 C.22 1，即 1，所以双曲线的离心率ea bca答案： Cx2y24(2017 高考全国卷 )已知椭圆 C：a2 b2 1(ab0) 的左、右顶点分别为 A1、A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线bx ay2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ()6B.32D. 1A. 33C. 33解析： 以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0) ，半径为 a.由题意，圆心到直2ab226222b线 bx ay 2ab 0 的距离为a2 b2 a，

20、即 a 3b.又 e 1a23，所以 e 3 .答案： Ax2y25已知双曲线 a2 b2 1(a0，b 0)的焦距为 45，渐近线方程为2xy 0，则双曲线的方程为 ()22B. x22x y 1 y 1A. 416164x2y2x2y2C.16 64 1D.64 16 1解析： 易知双曲线x2y2a2 b2 1(a 0， b 0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2xyb2220，得 a2，因为双曲线的焦距为4 5，所以 c 25，结合 c a b ，可得 a 2，b 4，所以双曲线的方程为x2 y2 1，故选 A.416答案： A6 (2018 春模拟长 )已知点，P 为双曲线上任意一

21、点，A 1O 为坐标原点，设 F1， F2 分别是双曲线 x2 y21 的左、右焦过点 F 1 作 F1PF2 的平分线的垂线，垂足为 H ，则 |OH| ()B 2111C4D.2解析： 不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长F1 H 交 PF 2于点 M ，由于 PH 既是 F1PF 2 的平分线又垂直于F1M，故PF 1M 为等腰三角形， |PF 1| |PM|且 H 为 F 1M 的中点，所以 OH为 MF1 F2 的中位线，所以|OH | 1|MF2 | 1(|PF2| |PM |) 1222(|PF2| |PF 1|) 1.故选 A.答案： Ax2y27(2018 高考全国卷 )已

22、知双曲线 C：a2 b2 1(a0，b 0)的离心率为 2，则点 (4,0)到 C 的渐近线的距离为 ()A.2B 232C.2D 22解析： 由题意，得 e c2， c2 a2b2，得 a2 b2.又因为 a 0， b0，所以 a b，a渐近线方程为 xy 0，点 (4,0)到渐近线的距离为4 2 2，2故选 D.答案： Dx2y28 (2018 石家庄一模 )已知直线 l ： y 2x 3被椭圆 C： a2b2 1(a b 0)截得的弦长为 7，有下列直线： y 2x 3； y2x 1； y 2x 3； y 2x 3.其中被椭圆 C截得的弦长一定为 7 的有 ()A 1 条B 2 条C3 条D 4 条解析： 易知直线 y 2x 3与直线 l 关于原点对称，直线 y 2x 3与直线 l 关于 x 轴对称，直线 y 2x3与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为7.选 C.答案： C229x y 1 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的渐近线(2018 洛阳模拟 )设双曲线 C： 169的垂线，垂足分别