数学物理方法试卷5答案

1、物理系 20 20 学年第 学期期末考试 数学物理方法试卷（A）考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级 专业 姓名 学号 题 号一二三四五总 分得 分核分人一、填空题（本大题共9题，每空2分，共24分）1、写出复数1+i的三角式，指数式 。2、中代表复平面上位于ab线段中垂线上点。3、幂级数的收敛半径为 。4、复变函数可导的充分必要条件存在，并且满足柯西-黎曼方程 。5、在Z=0的邻域上的泰勒级数是（至少写出前三项）=。6、若周期函数f (x)是奇函数，则可展为傅立叶正弦级数f (x)= 展开系数为 。 7、就奇点的类型而言，Z=是函数f(z)=的 可去 奇点，Z=0是函数的 单极 点。8、

2、三维波动方程形式。9、拉普拉斯方程在球坐标系中的表达式为：。二、简答题（本大题共3题，每题8分，共24分）1、 分别简述单通区域和复通区域下的柯西定理。 单通区域柯西定理：如果函数在闭单通区域B上解析，则沿B上任一段光滑闭合曲线,有； (4分)复通区域柯西定理：如果函数是闭复通区域上的单值解析函数,则,式中为区域外界境线,诸为区域内界境线,积分均沿界境线正方向进行。 (4分)2、长为的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为T0，在点，以横向力F0拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。 解： 由点斜式方程，弦的初始位移为 （2分）其中 c 为弦在 x h 点的初始位移。因为是小振动，所以（

3、2分）写出水平、竖直方向的力平衡方程式：（2分）解得 ，将之代入初始位移（1），得 （2分） 3、写出l阶勒让德多项式的具体表达式，具体写出前3个勒让德多项式。答：l阶勒让德多项式的具体表达式为： （4分） 记号l/2表示不超过 l/2的最大整数。（这由x的指数得知，k0的项即为系数为a0或a1的项。）经由上式计算，前3个勒让德多项式是 （4分）三、 计算题 （本大题共2题，每题10分，共20分）1、计算回路积分（l的方程是）。解：的方程可化简为：，在复平面上它是以（-1，-i）为圆心，为半径的圆， (1分)被积函数有两个单极点，和一个二阶极点，在这三个极点中，在积分回路内，它们的留数： (3

4、分) (3分)应用留数定理： (3分)2、计算实变函数积分I=。解:这是属于类型一的积分，为此，做变换使原积分化为单位圆内的回路积分f(z)有两个单极点在单位圆内，且所以四、求解定解问题（本大题共1题，共16分） 解：利用分离变数法：，代入范定方程（1），分离变量，得到： 两边分别是时间t和坐标x的函数，除非两边等于一个常数，记作，可得到t和x所满足的常微分方程，如下： （3分）同时把代入边界条件得： 因为是第二类边界条件，当=0时，方程的解是，代入边界条件得：D0=0， 所以； （1分）当0时，T满足的常微分方程的通解是： （2分）代入边界条件，确定系数 由于，则得无意义的0解，所以只有：，

5、则于是，求出本征值： （n=1,2,3 ） 现在把0情况的本征值和本征函数合在一起，相应的本征函数是：为任意常数 （3分） 对于每一个本征值， 代入方程 中可得到： 和 相应方程 的解为： （2分） 其中，An , B n 为任意常数。则满足的方程的本征解为：方程一般解是所有本征解的线性叠加，即：（3分）代入初始条件 上式的左端是傅立叶余弦级数，把右边的 和 展开为傅立叶余弦级数，然后比较两边的系数就可以确定系数， （2分） 装 订 线 内 请 勿 答 题.装.订.线.装.订.线五、应用题（本大题共1题，共16分）如图所示，推导一维和三维扩散方程，已知扩散系数为。解：在扩散问题中研究的是浓度在空间中的分布和在时间中的变化，选取长、宽、高分别是，的六面体小微元作为研究对象，已知扩散现象遵循扩散定律： （3分）该定律的分量形式：，如图所示的六面体里浓度的变化取决于穿过它的表面的扩散流。由扩散定律，先考虑单位时间内x方向上扩散流为：因在左表面处，流入六面体的流量为，在右表面流出去的流量为，取得很小，则单位时间内x方向净流入流量为 （3分）分别考虑y,z方向上的扩散流，同理可得单位时间内y方向净流入流量为单位时间内z方向净流入