08 立体图形上的最短路径问题

1、.第8讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点到内侧点的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点关于杯口的对称点，根据“两点之间，线段最短”可知即为最短距离 3.储

2、备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一 通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示， 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二

3、通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC（在面ADDA上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AABB与BBCC相连，连接AC，使E点在AC上（如图2）所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为

4、60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】【解析】试题分析：展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点作于，求出、，根据勾股定理求出即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S，F各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.过点S作点F所在母线的垂线，得到.【难度】较易【例题4】（2015红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在

5、偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_m（结果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为，由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得，再由，可得，故在展开的平面图形中，点到的最短距离为 【难度】一般类型三 通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长

6、18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？【答案】厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，的最短距离就是线段的长，根据勾股定理解答即可试题解析：解：如图所示，作点关于杯口的对称点 则厘米 【难度】较易三、实战演练类型一 通过平移来转化1如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dmA和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm【答案】25dm【解析

7、】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理可得x2=202+（2+3）32，解得x=25即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm【难度】较易类型二 通过旋转来转化2.（2015陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？【答案】【解析】试题分析：把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理得出结论试题解析：解

8、：展开图如图所示，【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处蚂蚁爬行的最短距离 .【答案】【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：，为底面周长的一半，即【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm,则它爬行一周的路程是多少？（2）如果树干的周长是80cm,

9、绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为BC的长，求出AB的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高试题解析：解：（1）如图，的周长为30cm，即AC=30cm 高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得 故爬行一周的路程是50cm （2）的周长为80cm，即AC=80cm 绕一圈爬行100cm，则AB=100cm，高BC=60cm 树干高=6010=600cm=6m故树干高6m【难度】一般5（201

10、5江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）A B C1 D【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的点沿正方形的表面爬到盒内的点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：蚂蚁从盒外的点沿正方体的表面爬到盒内的点 蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为 故选：B【难度】较易6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的

11、痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（ ） 【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线.试题解析：解：C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即是最短路线另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7（2014枣庄）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的

12、几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm【答案】【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知BCD是等腰直角三角形，ACD是等边三角形，在RtBCD中，在RtACE中，从顶点A爬行到顶点B的最短距离为【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是_（结果保留根式）【答案】【解析】解：设圆锥的展开图扇形的中心角的度数为n，则 ，解得：即在中，根据勾股定理【难度】一般9.如图，圆锥的主视图

13、是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n，则， 解得：即在展开图中，由勾股定理得，点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图，一个无盖的长方体盒子的棱长分别

14、为，盒子的内部顶点处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点处静止不动，请计算处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为，如图，假设昆虫甲从盒内顶点以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？【答案】（1）就是最短路径 （2）5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即三点共线， 根据勾股定理得如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即三

15、点共线，根据勾股定理得 如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即三点共线.，根据勾股定理得最短路程是.在图四中，如图一，在上取一点，使，连接，就是最短路径（2）如图五，设，则，在中，根据勾股定理得即：解得：，所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即为最短路线长【难度】较难11如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A. 10cm

16、B. 20cm C. 30cm D. 40cm【答案】B【解析】试题分析：将圆柱侧面展开，连接,根据三角函数求出的长即可试题解析：解：根据题意得， 故选B【难度】一般12如图，是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（） A4.8 B C5 D 【答案】C【解析】有两种展开方法：长方体展开成如图所示，连接， 根据两点之间线段最短，；将长方体展开成如图所示，连接，则；故选C【难度】较易13（2015-2016内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B距离C点 5 c

17、m，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 cm【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.试题解析：解：如图：（1）（2）；（3）所以需要爬行的最短距离是25【难度】较难14已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中，在顶点处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面的中心沿长方体表面爬行到点则此蚂蚁爬行的最短距离为 【答案】【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E、O（设面BCSF的中心为点O）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，

18、线段最短”，来一一求出线段EO的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径试题解析：解：设面BCSF的中心为点O，根据题意，最短路径有下列两种情况：如图1，沿SF把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离如图2，沿BF把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离故此蚂蚁爬行的最短距离是【难度】较难15如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.【答案】【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC上找一点P，使PA+PB最短， 过点A作EC的对称点A，连结AB，则AB与EF的交点