函数的最值与导数

1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数,1函数的最大值,f(x0)M,一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：对于任意的 xI，都有_；存在 x0 I，使得 _那么称 M 是函数 yf(x)的最大值,f(x)M,2函数的最小值,f(x0)M,一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：对于任意的 xI，都有_；存在 x0 I，使得 _那么称 M 是函数 yf(x)的最小值,f(x)M,复旧知新,a,b,f(a),f(b),复旧知新,问题一：函数极值相关概念,（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都小大

2、，满足f (b)=0且在点x=b附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。,（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,满足f (a)=0且在点x=a附近的左侧f (x)0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。,复旧知新,问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？,解方程f (x) =0。当f (x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x)0 ,那么f (x0)是极小值；,观察区间a

3、,b上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？,讲授新课,x1,极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6),极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5),最大值：f (a),最小值：f (x3),性质探究,探究问题1：开区间上的最值问题,结论,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。 若有最值，一定在极值点处取得。,如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？,性质探究,探究问题2：闭区间上的最值问题,y,x,o,y=f(x),如图，观察a，b上的函数y=

4、f(x)的图像，它们在a，b上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？,一般地，如果在闭区间a，b上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。,结论,特别地，若函数y=f(x)在区间a，b上是单调函数，则最值则在端点处取得。,y,x,o,思考1,观察下列图形,找出函数的最值并总结规律,图1,图3,图2,连续函数在a,b上必有最值； 并且在极值点或端点处取到.,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x1)、f(x3),f(x2),f(b),f(x3),问题

5、在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,思考2,追踪练习,(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；,方法总结,例1 .给出下列说法： （1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值

6、，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。 其中说法正确的有（）,牛刀小试,(4),例1.已知函数 ,求f(x)在区间0,3上的 最大值和最小值,典例精讲,例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间-3, 5上的最值。,求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间-2, 1上的最值,解：,又 f (-2)=1, f (1)=-8 所以函数在区间-2, 1 上最大值为 12,最小值为 -8,巩固练习,f(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)，,令 f(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍）,当-20，函数单调递增； 当-1 x 1时，f(

7、x)0，函数单调递减；,所以当x= -1时，函数取得极大值，且极大值f (-1)=12；,练一练：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。,4、函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为（ ) (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20,C,学以致用,反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,能力提升,已知函数 在-2,2上有最小值-37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在-2,2上的最大值,已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b， 使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29？若存 在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由,例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的取值范围,有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数,课堂小结,1.规律总结；,2.函数存在最值的的条件;,3.一般地，求函数y=f(x)在区间a, b上的最大值与最小值的步骤.,(1) 求函数y=f(x)在开区