现代控制理论中的数学知识

1、. Chapter0 数学知识0.1复数的指数形式jyx 如下图，复平面上的一个单位矢量，其长度为1，其方向与轴的夹角为，该矢量可以用指数形式来表示。由此可以得到公式： 实部和虚部分别为：著名的公式将“实函数”与“虚函数”联系起来。例1：利用公式可以简便的得到三角函数的“倍角公式” ，左边=，右边，比较两边“实部”和“虚部”得 定义：双曲余弦函数 ，双曲正弦函数 得到关系式： ，0.2矩阵知识0.2.1 矩阵形式单位矩阵 ， 纯量矩阵 ；对角矩阵 ， ；上(下)三角矩阵:，,；对(反)称矩阵:，；任一矩阵都可分解为对称矩阵与反称矩阵之和：、可交换（）的充要条件是为反称矩阵。矩阵指数 定义： （

2、1） 频域求法或叫变换法；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 若矩阵满足交换律，则有；（6） ；（7） ；（8） 设是与同阶的非奇异矩阵，则有；（9） 传递性：对任意满足，有。例2：当 ， 若，即为纯量矩阵，例3：当 ，特征值全部为0，故是次幂零矩阵。0.2.2 矩阵操作下列操作不改变矩阵秩数： 交换行列次序； 某行乘纯量倍加到其他行去； 某行乘（）纯量倍；矩阵转置。代数余子式 将去掉矩阵的第行，第列后产生的阶子矩阵的行列式记作，则的代数余子式可表为 ；矩阵转置 满足，；称为转置矩阵。； 这就是说：“行矩阵”的转置等于分别转置后的“列矩阵”；“列矩阵”的转置等于分别转置后的“行矩阵”；利用矩

3、阵的转置运算可将“列矩阵”表达为“行矩阵”形式。矩阵共轭 ，矩阵元实部不变符号，虚部变符号；共轭转置矩阵，；厄米（）矩阵： 称满足关系式为矩阵，由定义可知矩阵一定是方阵，且对角线上元素均为实数。由定义可知，实对称矩阵是矩阵；矩阵的迹：对于同阶方阵、， ，；矩阵“行”、“列”、“元”的提取：定义：第个元素为1，其他元素均为0的行向量，即用“的 行向量左乘矩阵，可将矩阵的第行“提取”出来；定义：第个元素为1，其他元素均为0的列向量，即用“” 的 列向量右乘矩阵，可将矩阵的第列“提取”出来；、同时作用可提取矩阵的元：。0.2.3 矩阵的代数运算矩阵加法、减法对各矩阵元进行矩阵乘法 结合律成立 分配律

4、成立 交换律不成立 首先，存在，不一定存在，即不成立。即使存在，也不一定有，故矩阵乘积不满足交换律。矩阵除法 矩阵除法按“”幂进行定义 若 ，则 称为的逆矩阵，当方阵存在逆时，就说是非奇异的。当方阵存在逆时。 逆矩阵、矩阵的求逆 将欲求逆的矩阵与单位矩阵放在一起变形，当矩阵处变为单位矩阵时，单位矩阵处就变为了，即 或者 ，称为伴随矩阵，为矩阵的行列式。特别地 ， “矩阵元” 矩阵的求逆运算 当矩阵的“矩阵元”仍为矩阵时，其矩阵求逆运算仍和“矩阵元”为“数”时的情况相似，设：，这表明必定是方阵，有可能存在逆，而不一定是方阵，谈不上求逆。根据 当存在时：由得，代入得；再代回上式得同理，由；代入得

5、；再代回上式得 同理，当存在时，可求出：特例：; “矩阵元”矩阵行列式的求法（只有方阵才存在行列式）；矩阵行列式，当为同阶方阵时：；0.2.4 矩阵的微积分运算矩阵微分 对各矩阵元进行 矩阵积分 对各矩阵元进行 0.2.5 矩阵的一些性质幂零矩阵 存在某正整数，满足，称阶方阵为幂零矩阵，为幂零矩阵的充要条件是的所有特征值为零 ， 正交矩阵 若为正交矩阵，则；正规矩阵 称满足的矩阵为正规矩阵。矩阵（）、酉矩阵（）都是正规矩阵；酉矩阵 方阵满足，即矩阵转置取共轭后与自己相乘后等于单位矩阵，时称为酉矩阵。酉矩阵有如下特征： 方阵为酉矩阵； 方阵为酉矩阵也是酉矩阵； 、为酉矩阵时，仍为酉矩阵； 酉矩阵

6、行列式绝对值为，即； 实酉矩阵正交矩阵，因为正交矩阵，而正交矩阵的行列式值为。特征值：，存在解的充要条件是，称为的特征值。求的特征值就是解，阶方阵有个特征值。 ，即的行列式为零时，其特征值也为零； 若的特征值为，则的特征值为（互为倒数）；矩阵对角化 对于方阵，存在非奇异矩阵，使化成三角矩阵，此时对角线上的元素即为的特征值；进一步，若的特征值全部相异，则存在非奇异矩阵，使化为对角矩阵，且对角线上的元素即为的特征值； 对于方阵，存在非奇异矩阵，使成为矩阵： ，其中等价：若存在非奇异矩阵、，使或者，或者，则称、等价；相似：若对于方阵、，存在非奇异矩阵，使得，则称、相似；0.4 Taylor级数一个函

7、数是否能由幂级数表示?如果能展开，如何确定？展开式是否唯一？定理1.如果函数在内具有任意阶导数，且在内能展开成的幂级数，即，则其系数，其展开式是唯一的。证明：在内能展开成的幂级数,逐项求导任意次： 令即得Taylor系数：，Taylor系数是唯一的，所以展开式也是唯一的。若在处展开，称为Maclaurin级数。几个常用幂级数： 0.5 Fourier级数 最简单的波是谐波(正弦波),它是形如的波,其中是振幅,是角频率,是初相位。其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来。这就是说,设是一个周期为的波,在一定条件下可以把它写成其中：是阶谐波,，称上式右端的级数是由所确定的Fo

8、urier级数。三角函数的正交性设是任意实数,是长度为的区间,由于三角函数是周期为的函数,经过简单计算,有 ； 利用积化和差的三角公式容易证明， 考察三角函数系，每一个函数在长为的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等于零，而每个函数自身平方的积分非零。称这个函数系在长为的区间上具有正交性。Fourier系数 设函数已展开为全区间设的一致收敛的三角级数现在利用三角函数系数的正交性来研究系数与的关系。将上述展开式沿区间积分，右边级数可以逐项积分得到，又设是任一正整数，对的展开式两边乘以沿积分，由假定，右边可以逐项积分，由此得到：因此得到Euler-Fourier公式：同理，对的展

9、开式两边乘以沿积分：称这级数是关于三角函数系的Fourier级数，而称为的Fourier系数，记为Fourier级数的收敛判别法：设函数在上可积和绝对可积，当是的（第一类）间断点时， 收敛于Fourier级数的复数形式 Fourier级数的阶谐波可以用复数形式表示。由Euler公式得：如果记 ，那么上面的Fourier级数就化成一个简洁的形式，这就是Fourier级数的复数形式，为复振幅，与是一对共轭复数。Fourier级数可以逐项求积分和逐项求导。 Fourier变换定义：是的Fourier变换。黎曼引理： 称是的Fourier逆变换（积分公式）。Fourier变换的一些性质性质一（线性）：

10、，其中是两个任意给定的常数（学生自己证明！）。性质二（平移）：对任何，。该性质表明平移后的Fourier变换等于未作平移的Fourier变换乘。证明：性质三（导数）：设，则，求导运算在Fourier变换下成为乘积运算。证明： 性质四：证明： 0.6 有理真分式的分解在实数范围内，有理真分式总可以分解成部分分式（部分分式是指这样一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式）之和，且具有对应关系：若中有重根因式，可分解成下列个最简分式之和，其中都是常数.特别地，如果，那么分解后只有一项；若中有因式，可分解成下列个最简分式之和 其中都是常数.特别地，如果，分解后只有一项结论：有理真分式总能分解为若干部

11、分分式之和，并可归纳为以下四种形式：（1） （2） （3）（4）例5 把分解为最简分式之和。解：根据真分式的性质可设 （1）方法1：（1）式两端去分母后，得 （2）因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有 解得方法2：此题定还有另法：在恒等式（2）中，代入适当的值，即可求出待定常数。在（2）中令，得；令，得； 再令，得方法3：（1）两边同乘再令可求得，（1）两边同乘再令可求得， （1）两边同乘、求导、再令可求得， 所以 , 例6 把分解为最简分式之和。解：令，、为待定常数（1）方法1：（1）式两端去分母后，得 (2) 比较两端系数有 ，解得 ， 方法2：在（2）中令得；令得方法3：（1）两边同乘再令可求得，（1）两边同乘再令可求得， 所以 例7 把分解为最简分式之和解：因为分母中为二次质因式