不等式型双变量存在性或任意性问题

1、不等式型双变量存在性或任意性问题1形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)f(x1)成立”。此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域是g(x)的值域的子集”来求解参数的取值范围。【典例1】已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)x，若对任意x11,1，总存在x20,2，使得f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数a的取值范围。【解】由题意知，g(x)在0,2上的值域为，令h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则h(x)6x2，由h(x)0得x。当x时，h(x)0，所以h(x)minha22a。又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是2

2、,0。2形如“存在x1A及x2B，使得f(x1)g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集”来求解参数的取值范围。【典例2】已知函数f(x)函数g(x)ksin2k2(k0)，若存在x10,1及x20,1，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围。【解】由题意，易得函数f(x)的值域为0,1，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分。先求没有公共部分的情况，即22k1或2k0，解得k，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是。3形如“对任意x1A及x2B，都有f(x1)g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)ma

3、xg(x)min”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例3】已知函数f(x)8x216xk，g(x)2x35x24x，若对于任意x13,3，x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围。【解】解法一：因为不等式f(x1)g(x2)的左右两端函数的自变量不同，x1与x2在3,3内的取值具有任意性，所以使不等式f(x1)g(x2)恒成立的充要条件是f(x)maxg(x)min。因为f(x)8(x1)2k8，所以f(x)maxf(3)120k。又因为g(x)6x210x4(3x2)(2x2)，由g(x)0得x或1，g(3)21，g(1)1，g，g(3)111，所以g(x)min

4、21，由120k21，解得k的取值范围是141，)。解法二：令(x)8x216x，则对于任意x13,3，x23,3，都有(x1)kg(x2)成立，故k(x)maxg(x)min120(21)141，即k的取值范围是141，)。4形如“存在x1A及x2B，使f(x1)g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)ming(x)max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例4】已知函数f(x)7x228xa，g(x)2x34x240x，如果存在x13,3，x23,3，使f(x1)g(x2)能成立，求实数a的取值范围。【解】解法一：由题意知，f(x)ming(x)max。因为f(x

5、)7(x2)2a28，所以f(x)minf(2)a28。又因g(x)6x28x40(6x20)(x2)，由g(x)0得x2或(舍去)，g(3)102，g(2)48，g(3)30，所以g(x)max102。由a28102解得a的取值范围是130，)。解法二：令(x)7x228x，存在x13,3，x23，3，使(x1)ag(x2)成立，故a(x)ming(x)max28102130。即a的取值范围是130，)。5形如“对任意x1A，都存在x2B，使得f(x1)g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)max0；当x时，f(x)0，所以f(x)maxf。又f(0)4，f(a)，f(a)f(0)，所以，当a时，f(x)minf(0)4，当a时，f(x)minf(a)。因为g(x)在0，a上单调递减，所以g(x)ming(