通信网理论基础-第4章-网内业务分析-通信网的业务模型和分析

1、 第四章通信网业务分析4.1. 排队论基础 =4.2. 通信网的业务模型与分析 4.2.1. 各种测度和指标业务量话务量 在指定时间内=定义例 线路被占用的总时间若某线路有 m 条信道第 r 条信道被占用 Qr 秒则该线路上 m 条信道上的业务量话务量为mQ = Qrr =1业务量的另一种表达形式为t +TQ = Q(t,T ) = R(t)dttR(t)是在时刻 t 被占用的信道数T 是观察时间 其中R(t)是时刻 t 的一个随量Q 是 R(t)在 t 到 tT 内的累计值也是一个随量并且是起始时刻 t 和观察时间 T 的函数=量纲业务量的量纲是时间 例 若一个信道代表一个电话话路则业务量

2、话务量 的单位是 秒 话路分钟话路小时话路天话路=业务量的另几种表达形式Q = ltT呼叫强度即单位时间内到达到呼叫数单位 呼/小时 t每一呼叫平均占用时长 单位小时T Q观察时间业务量 单位单位小时小时呼= Ci tii= tiiQ当第 i 个呼叫进入时1Ci =0当第 i 个呼叫离开时ti( ti):第 i 个呼叫占用的时长Q = CtC = CiCt在观察时间 T 内到达的呼叫次数i每一呼叫平均占用时长单位小时=业务量三要素时间范围 呼叫强度 呼叫占用时长业务强度话务量强度呼叫量=定义线路占用时间与观察时间之比a = 业 务 量 = Q观察时间TErlang业务强度爱尔朗=量纲业务强度无

3、量纲Erlang 爱尔朗业务强度的单位是=一些结论具有 m 条信道的线路中实际能承载的业务强度不大于 m若用户发出的实际业务强度超过此限制则肯定有些呼叫被拒绝实际上 即使业务强度小于 m有时也可能有呼叫被拒绝=业务强度 话务量强度的另外几种表达式1 t +Ta = R(t)dt Tt a = Q = lt T单位时间内的话务量与排队论中的参数相对应信道数 m 相当于服务窗口数 单位时间内平均呼叫数相当于顾客到达率 =1每次呼叫占用线路的平均时间t 相当于平均服务时间 ma = lt = l = r所以业务量强度m当业务量强度 a m 时=相当于r = l 1mm此时不拒绝系统将是不稳定的对于拒

4、绝系统当然还是稳定的只是有拒绝现象而已=纯随机呼叫用户数为无限多 用户间相互独立 若每个用户的呼叫率为l0而且趋于零l = lim Nl0则总呼叫率为N 为用户数 N l Dt此时Dt 内出现一个呼叫的概率为=准随机呼叫在实际的通信网中不存在严格的纯随机呼叫因为用户数总是有限的设用户数 N 为有限值用户间相互独立0为单位时间内每个用户平均呼叫次数r已被接受服务的用户数则呼叫到达率为 (N-r)0此时 在 t 内到达一个呼叫的概率为(N-r)0当 N 较大时准随机呼叫可近似地作为纯随机呼叫处理这种近似愈合理 N 愈大=拒绝系统重复呼叫若用户的某次呼叫被拒绝 则该用户通常会继续呼叫 甚至连续呼叫

5、称之为重复呼叫重复呼叫增加了原有呼叫的复杂性阻塞率和呼损=阻塞率时间阻塞率总观察时间内阻塞时间所占的百分比 阻塞时间 总观察时间 =TC = pn时间阻塞率 pn 就是排队论中截止队长为 n 时的拒绝概率呼叫阻塞率呼损被拒绝的呼叫次数占总呼叫次数的百分比= 被拒绝的呼叫次数 总呼叫次数 CC = pc呼损就是指的这个呼叫阻塞率=呼损与转接次数的关系转接次数越多呼损越高设网内的源宿端间 某有向径上有 r 条边各边上的呼损为pci( i = 1, 2, , r)则该径上源宿端间的呼损为rpc = 1 - (1 - pci )i=1时延=时延是通信网中的另一重要指标时延是指消息进入通信网后直到利用完

6、网络资源所需的时间包括等待时间服务时间传输时延处理时间=不同的业务对时延的要求是不同的通过量和信道利用率=在所有的呼叫中的 通过量 有一部分是被拒绝的另一部分是实际通过网络=单位时间内通过网络的业务量称为通过量Tr = a(1- pc)爱尔朗lma即 业务量强度 pc呼损有时也用单位时间内通过网络的呼叫次数作为通过量Tr =(1- pc)呼/秒=信道利用率若线路的容量为 CrTrh =则例Cr若某条线路可通 m 路电话其容量可定为 m则信道利用率相当于排队模型中的窗口占用率或系统效率h = Q(1 - pn )M/M/m(n)即的公式m=全网通过量和全网效率若通信网中有 M 条边全网通过量 相

7、当于 M 条线路是从各端进入网内T = ar (1 - pc )且能到达宿端的业务量nr =1是从第 r 端进入网络的业务量强度 是这些业务量强度在网中被阻塞的百分比ar pc全网效率 各线路的通过量 Tr 之和与各线路的容量之和的比值MTrh = r -1MCrr =14.2.2. 业务分析举例用排队论分析通信网中各端的业务问题的步骤=先确定模型常用的模型有M / M / m M / D / 1 M / Er / 1n=第二步是定义状态变量常用的状态变量有 队列长度 占用线数 通信网中的业务分析一般只限于稳态=第三步是列出状态方程对于 M / M 问题可先画出状态转移图=列出稳态方程进入某状

8、态的概率离开该状态的概率=第四步是求解状态方程并计算所需的目标参量 计算网络的质量指标和性能指标例 1有限用户即时拒绝系统的分析#1l0#2l0.l0#N =交换站有 N 个用户每个用户的呼叫率为l0 有 m 条中继线 用户占线时间服从均值为 1/ 的负指数分布截止队长 n = m若用户之间相互独立则总呼叫率为 N0=选用占线数 k 作为状态变量状态转移关系 状态转移图Nl0(N -1)l0(N - k + 1)l0(N - k )l0(N - m +1)l0012.k.mmmm2mkm(k +1)m根据状态转移图列出系统方程:交换站 #1 #2 . . . #m (N - k )l0 + k

9、mpk = (N - k + 1)l0 pk-1 + (k + 1)m pk+1(0 k m) 即m -1个方程Nl p = m p0 01mmp= (N - m + 1)l p0 m-1mmr =0pr = 1要解此方程组还需要利用归一条件求解方程组 令 = / =用递推法可解出p1= Nr p =0 C1 rN p0(N -1)r + 1p1 - Nr p0p = C 2 r 2 p2N02pk= Ck rNk p通解为01p0 =可解出 p0m利用归一条件NC rkkk =0Cm r m时间阻塞率或拒绝概率为pm = C r p0Nmm=mNNC rrrr =0(N - m)l pCm

10、r m呼叫阻塞率或呼损为0 mN -1pc= m=m(N - r)l p0 rN -rr rC1r =0r =0线路利用率m-1N -1C rkkNrmmpmkk =0h = p=C k r=kk k =0 0 mkNmmNk =0C rkkk =0例 2主备线即时拒绝系统=在交换站有两种输出线A 是主用线B 是备用线当 A 线被占用时再有呼叫到来就占用 B 线来传输模型主用线 A l备用线 B交换站 mm 到达率 服从均值为 的指数分布服务率 服从均值为 的指数分布=选择状态变量此处一个状态变量已不能表达系统的状态x,y令二维矢量为系统状态x y 01表示主用线 A 的状态表示备用线 B 的

11、状态表示表示空闲占线 00, 01, 10, 11状态集为m0001mmll=系统的状态转移图为m1011l=稳态的状态方程lp00= m( p01 + p10 )(l + m) p01 = m p112m p= l( p+ p )110110归一条件p00 + p01 + p10 + p11= 1=求解方程组 设 =/解得2p=002 + 2r + r 2r 2=p01(1+ r)(2 + 2r + r 2 )r(2 + r)p=10(1+ r)(2 + 2r + r 2 )r 2p11 =2 + 2r + r 2p10 p01是主用线 A 的阻塞概率是备用线 B 的阻塞概率 p11是系统的

12、阻塞概率 也就是呼损系统的线路利用率为r(1 + r)h = 1 ( p+ p ) + p=0110112 + 2r + r 22= 50% ( p01 + p10 ) + 100% p11若系统中的 A 线和 B 线不分主备则成为标准的 M/M/2(2) 问题M/M/2(2)中的 p0 对应于该系统中的 p00 p1 等于 p01+ p10 p2 等于 p11 即呼损线路利用率与本系统一致可见但是在本例的条件下若不分主备系统的性能并无变换若备用线可以另作它用则情况就不同了请见下例例 3公用备线即时拒绝系统Al1Bl2C=两个业务流分别送到系统的 A 和 B 两个处理单元两个输入可认为是两组独

13、立用户也可以认为是两种不同性质的业务系统有三个输出A 线和 B 线为各自的专用线C 线为共用的备用线可接受 AB 两种业务当专用线忙时 都可使用 C 线假设指数分布的情况两个到达率分别为 1 和 2 三线的服务率均为 这是一种三窗口的排队系统但不是标准的 无法使用前面的公式=选择状态变量A mmB m 取x , y , z作为系统的状态变量x , y , z 分别表示 ABC 三线的忙闲10以以代表占用 代表空闲 对于即时拒绝系统状态矢量集为000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111=状态转移图l2l1m010011l1l2ml1+l2mmml2m000001

14、110111l1mmmmml2l1100101l2ml1=稳态的状态方程( l( l+llll=m+) p(ppp)12000010001100+mmm=m+)p( pp)12001011101mm+( ll)pp( pp)120102000011110( l 1l 1)pp(pp)2100000110101( l( lm=l+m2)p( pp)p10112010001111l+2 m=l+l+m p) ppp1211010102100111( l+m=l+m2)p( pp)p210110011001113 m p=l+( l+l+ lpp) p1111011121102101另有归一条件p0

15、00 + p001 + p010 + p011 + p100 + p101 + p110 + p111求解方程组 = 1=令 1 =2 = =/为简化起见可解得 3 +7 r+5 rD2=p000r( 4 r+ 3 )2=p001Dr+5 .5 r+ 3 r)2( 3=pp 100010D3 )( 0 . 5 +r2( 4 r+r )=pp 101011D3 )r2r+4 r+( 2=p110D+ 6 rr( 4 r32+3 )=p 111D其中 D = (1 + r )( 3 + 10 r+ 15 r+ 12 r+4 r234 )A 端用户的呼损B 端用户的呼损pCA= p101 + p11

16、1 pCB= p011 + p111可见r2( 3 +16r+ 20r+ 8 r)23=ppCACB2 D线路利用率为h = 1 ( p+ p) + 2 ( p+ p+ p+ p) + 100% p00101010001110111011133r=(6 + 26r + 47r 2 + 38r 3 + 12r 4 )3D公用备线系统与自用备线系统的比较=即本例的公用备线系统 统的情况 信道利用率的比较 三线系统代替前例两个自用备线系 两个自用备线系统将配备四条信道 而本例的公用备线系统仅配备三条信道所以信道利用率必然会提高h自备h公备= 40%= 48.5%呼损的比较令 =1 自用备线系统的呼损

17、 公用备线系统的呼损 p11= 0.2 pC = 0.26可见呼损有所增加是节省一条备用线的代价若 0 时r , s+1r , s状态不能转移到状态一旦线路空闲 A 队将占用因为r1 , s+1状态将转移至状态状 态 t , r , s= (1 , 0 , 0 ) 意味着 有一个呼叫正在占用线路此呼叫可以来自 A 队 也可以来自 B 队AB 两队均无呼叫在排队此时 =稳态下的系统状态方程t0rs0 :( l1+ l 2 ) p 0 =m p 00t1rs0 :(l1 + l2 + m) p00 = (l1 + l2 ) p0 + m( p01 + p10 )t1r00 s ns :(l1 +

18、l2 + m) p0 S= l2 p0,S -1+ m( p1S+ p0,S +1 )t1s00 r nr :(l1 + l2 + m ) pr 0= l1 pr -1,0 + mpr +1,0t10 r nr0 s ns(l1 + l2 + m) prs= l1 pr -1,s + l2 pr ,s-1 + mpr +1,st1rnrs ns(l+ m ) p n s = l1 pnrr -1, s + l 2 p n r , s -12t1r 0)p 0 += 1p r , 00归一条件r = 0此系统相当于 M/M/1态上面方程组中的最后一式为齐次一维差分方程- (l1 + m ) pr

19、 0mpr +1, 0+ l1 pr -1, 0= 0p= pxr可令通解为r 000代入后可解得 x = / 或 11由于 r 可以趋于无限大 故应舍去 x = 1 解 /而保留下 x =11解 并要求 1 0s 0(l + m1 + m 2 ) p rs= lpr -1, s + m1 pr +1,s -1 + m 2 pr ,s +1s=0 r =0prs= 1归一条件=求解方程组p= pxr y s试用解rs00ly = r代入第一式可得m22lx = r代入第二式可得m11再代入其它格式 验证这样的 x , y 均满足方程所以得到联合概率 prs 的通式= p r rprsrs001

20、2利用归一条件求出 p00100 1200r rr =s p= 1p(1 - r )(1 - r )rs12p= (1 - r )(1 - r )00所以12= (1 - r )(1 - r )r rprsrs1212一个重要结论从这个解可以看出r 和 s 是两个相互独立的随量两个排队过程是相互独立的也就是说在这样的系统中 =系统的性能指标信息包在系统中的总时间或者说平均时延1111s = s + s =+=+12m (1 - r )m(1 - rcc)- l11122 2 - laa信道利用率 = (h1 = r1 ) (h2 = r2 )信道 C1 的利用率11 = 信道 C2 的利用率22h = 1 (r + r )总的信道利用率 122只有 1 1 且 2 1 时 可见