12无穷级数的概念与性质

1、第一节 无穷级数的概念与性质,一、无穷级数的概念 二、无穷级数的性质,定义1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un， 此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1) 称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为,其中第n项un叫作级数的一般项或通项.,级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：,我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.,由级数(1)的前n项和，容易写出：,定义2 如果级数 部分和数列 有极限s，即,则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有,若 无极限，则称无穷级数 发散.,注意:,称为级数的余项， 为 代替s所

2、产生的误差 .,性质1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.,性质2 如果级数 、 分别 收敛于,即,性质3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性. 性质4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.,注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.,推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.,级数,结论：由此我们可得,注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.,第二节 正项级数及其敛散性,一、正项级数及其收敛的充要条件 二、正项级数收敛的比较判别法 三、正项级数收敛的比

3、值判别法,定义 设级数,的每一项都是非负数,则称此级数是,显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即,正项级数.,定理1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.,证明:这是一个正项级数，其部分和为:,故sn有界，所以原级数收敛.,定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数，且,若级数 收敛，则级数 收敛； 反之，若级数 发散，则级数 也发散.,则有：若 发散，则 也发散; 且当 时，有 成立， 则有：若 收敛，则 也收敛.,推论设级数 和 是两个正项级数，且存在自然数N，使当 时，有（k0)成立，,例2 判定p-级数,的敛散性.常数 p0.,由此可得结论，p级数 当 时发散

4、，p1时收敛.,由比较判别法可知，所给级数也发散.,而级数,是发散的；,定理(达朗贝尔比值判别法) 设 为正项级数，如果 (1)当 时，级数收敛；,(3)当 时，级数可能收敛，可能发散.,(2)当 ( )时， 级数发散.,例7 判别级数,解:,由比值判别法可知所给级数发散.,此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定;,第三节绝对收敛与条件收敛,一、交错级数及其敛散性 二、绝对收敛与条件收敛,定义 正负项相间的级数，称为交错级数.,定理1(莱布尼兹定理),则级数收敛，且其和 ， 并且其余项 的绝对值:,(1)级数前项大于后项，即 (2)级数的通项趋于零，即,如果交错级数,证明:先证明前2n项的和s

5、2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:,由(1)式可知s2n是单调增加的； 由(2)式可知s2nu1.,由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1，即,再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s，有,任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正数，又有负数的任意实数.,定义 (1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对收敛； (2)如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成的级数发散，则称原级数条件收敛.,解,因为,注意： (1)由于任意项级数各项的 绝对值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否

6、绝对收敛.,第四节 幂级数,一、函数项级数的概念 二、幂级数及其敛散性 三、幂级数的运算,定义 在区间I上的函数列,则由这函数列构成的表达式,称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数.,对于每一个确定的值 ，函数项级数(1)成为常数项级数,定义 形如,的级数，称为(xx0)的幂级数，,均是常数，称为幂级数的系数.,称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.,当x0=0时，(1)式变为：,定理2如果幂级数,的系数满足条件：,例2 求幂数,的收敛半径与收敛区间.,对于端点x=1，级数成为：,如果幂级数,的收敛半径分别为R10和R20，则,收敛半径R等于

7、R1和R2中较小的一个.,性质1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续.,性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式,即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,性质3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式,即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,第五节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数,定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数,为f(x)在x0的泰勒级数.,当x0=0时，泰勒级数为:,称之为f(x)的麦克劳林级数.,定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：,其中：,公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.,定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：,将函数展开成x的幂级