2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习

1、2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习考点1：两异面直线所成的角例1.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M1例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（ C ）(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 90变式训练：1.（2009全国卷文）已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为( C )（A） (B) (C) (D) 2.如图，直三棱柱，点、分别是、的中点，则与所成角的余弦值是（ ） 3.（2012年高考（陕西理）如图,

2、在空间直角坐标系中有直三棱,则直线与直线夹角的余弦值为（）ABCD 第3题图 第4题图 第5题图4(2007全国文)如图，正四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（）5.（ 2012年高考（四川文理）如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是_.90 6.（2011年全国二文15）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_7.已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 8（2011年上海文）已知是底面边长为1的正四棱柱，高，求（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）四面体的体积.考点2：直线

3、与平面所成的角例3.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） （D） 例4.（2011年天津文17）如图17，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明PB平面ACM；(2)证明AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值图17图18【解答】 (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)证明：因为ADC45，且ADAC1

4、，所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO.从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.变式训练9.（20008福建卷理）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(D)A.B. C. D. 第9题图 第10

5、题图 第11题图10.（2010四川文理15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 . 11. 已知长方体中，求直线与平面所成的角。 12.如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小. 13.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【解析】（I）是

6、与所成角 在中，异面直线与所成角的正切值为（II）面 面 平面平面（III）过点作于点，连接 平面平面面是直线与平面所成角 在中， 在中， 得：直线与平面所成角的正弦值为14.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分） 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积. 中国教*育出#版%【答案】【解析】（）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（）知，BD平面

7、PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形中，所以故四棱锥的体积为.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积.15.（2011年湖南文19）如图15，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，点C在上，且CAB30，D为AC的中点(1)证明：AC平

8、面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值图15课标文数19.G5，G112011湖南卷 【解答】 (1)因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.在平面POD中，过O作OHPD于H，则OH平面PAC.图16连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOAsin30.在RtPOD中，OH.在RtOHC中，sinOCH.故直线OC和平面PAC所成角

9、的正弦值为.考点3：二面角例5. 11.如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.例6.（2011浙江文20）如图17，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上(1)证明：APBC；(2)已知BC8，PO4，AO3，OD2，求二面角BAPC的大小 图17课标文数20.G112011浙江卷 【解答】 (1)证明：由ABAC，D是BC中点，得ADBC，又PO平面ABC，得POBC，因为POADO，所以BC平面PAD，故BCAP.(2)如图，在平面APB内作BMPA于M，连CM.因为BCPA，得

10、PA平面BMC，所以APCM.故BMC为二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB2AD2BD241，得AB.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cos BPA，从而sinBPA.故BMPBsinBPA4.同理CM4.因为BM2MC2BC2，所以BMC90，即二面角BAPC的大小为90.变式训练：16.（09陕西文）如图，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()证明：；CBAC1B1A1（）求二面角AB的正切值。 17.（07湖南文）如图3，已知直二面角，直线C

11、A和平面所成的角为. ()证明； ()求二面角的正切值. ACBP18.如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小； （）求点到平面的距离 巩固与提高1.如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。（）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；()在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F/平面A1BE？证明你的结论。A DB CA1 D1B1 C1E图52. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.(第18题)证明：(1)在长方

12、体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点DD1E为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC45，即DEEC在长方体ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB过DE，平面DEB平面EBC (2)解：如图，过E在平面中作EODC于O在长方体ABCD中，面ABCD面，EO面ABCD过O在平面DBC中作OFDB于F，连结EF，EFBDEFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF， (第18题)又OE1，所以，tanEFO3. 如图，正方体中，是的中点 （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角.4.2014湖南卷文 如图13所示，已知

13、二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O.图13(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值18解：(1)证明：如图，因为DO，AB，所以DOAB.连接BD，由题设知，ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB.而DODED，故AB平面ODE.(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，从而DEO60.不妨设AB2，则AD2，易知DE.在RtDOE中，DODE

14、sin 60.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.5.（2009浙江卷文）（本题满分14分）如图，平面，分别为的中点（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是 在中， ，所以6.（2009湖北卷文）（本小题

15、满分12分） 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa(01). ()求证：对任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分） （）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。过点D在平面SAD内做DFA

16、E于F，连接CF，则CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60=得， 即=3 ， 解得=7.2014天津卷文 如图14所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD，AD2，PAPD，E，F分别是棱AD，PC的中点(1)证明：EF平面PAB；(2)若二面角PADB为60.(i)证明：平面PBC平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值17解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MFBC，且MFBC.由已知有BCAD，

17、BCAD，又由于E为AD中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PAPD，BABD，而E为AD中点，所以PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P AD B的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2.在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB.又BCAD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.(ii)连接BF，由(i)知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角，而MBPB，可得AM，故EF.又BE1，故在直角三角形EBF中，sinEFB.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.8.2014浙江卷文 如图15，在四棱锥A BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.图15(1)证明：AC平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值20解：(1)