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文档简介
1、第二讲:立体几何中的向量方法 利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理
2、念。为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线面角的求法进行总结。教学目标1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法;2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量;求解直线与平面所成的角的向量法.教学难点 求解直
3、线与平面所成的角的向量法.教学过程、复习回顾一、回顾有关知识:1、直线与平面所成的角:(范围:)思考:设平面的法向量为,则与的关系?(图1)(图2)据图分析可得:结论:2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)、典例分析与练习例1、如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,求和所成角的正弦值.分析:直线与平面所成的角步
4、骤: 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角,(锐角)其余角为所求角ABCA1B1C1xyZD解:如图建立空间直角坐标系,则 设平面的法向量为由取,设和所成角为 和所成角的正弦值.点拨 要注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量所成角”之间的关系,通常求斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其锐角就是斜线和平面所成的角。练习1:如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,求BB1与平面AB1C1所成的角.解:建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A(1,0,0),B(0,0),B1(0,3),C1(1,0,3)设平面AB1C1的一个法向量为,由令z2,得设直线BB1与平面AB1C1所成角为,则|cosn,|. 又0, .练习2:如图,在棱长为的正方体中,E、F分别是棱的中点求和面EFBD所成的角.解:如图建立空间坐标系,则,设面的法向量为由 得又记和面所成的角为则 和平面所成的角为、小结与收
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