解三角形的基本题型

1、解三角形的基本题型睢县回族高级中学 杨少辉解三角形问题是高考的一种基本问题，可以说是常考；下面就这类问题来做个总结，有不对的地方希望大家指正。一、与解三角形有关的公式、定理、结论：1、正弦定理： ；正弦定理的变形： ;（根据合比定理）2、余弦定理：余弦定理的变形：3、三角形面积公式：（1）；（2）（两边及夹角）；（3）（两角及夹边）；（4）（两角及对边）；（5）（三边）；（6）（代入正弦定理）；（7）；4、三角形中的边角关系：（1）；（2）转化为三角函数： ； ；（3）大边对大角： ； ；（4）锐角与钝角的判定： 角A为锐角； 角A为直角； 角A为钝角；（5）锐角三角形中的边角关系： ；二、解

2、三角形的常见题型：题型一：已知两边及对角，判断三角形解的个数；例1、根据已知条件，判断下列解的个数：（1）；（2）；（3）；（4）；解析：显然应使用正弦定理：（1），故：，解得：，；由图形可知：直线与只有唯一的交点，所以：只有唯一解；（2）由解得：，；实际就是研究 图像交点的个数；由图像知：有两个交点，即：有两个解；（3）由解得：，这样的角B不存在，无解；（4）由解得：，又；故：；（变式1）已知中，若此三角形有两个解，求边的取值范围？分析：由正弦定理知：，；只需： 有两个不同的交点即可；由图像可知：；（变式2）（1）在中，求；（2）在中，求；分析：（1）由于；关键是的正负；也就是分析角A是锐角

3、还是钝角；即：交点的情况；如图：只有一个交点，角A是一个锐角；即：；（2）类似分析可知：，故：；总结：解决这类问题一般用正弦定理，转化成图像交点的个数问题；题型二：利用正弦定理求外接圆半径；例2、直三棱柱中，求其外接球的表面积；分析：此题的关键是确定球心的位置并求球的半径；如图：为的外接圆半径；由正弦定理：；解得：，；球的半径，故：球的表面积为；（变式）二面角为，点P为二面角内部一点，点P到面和面的距离分别为1和2；求点P到直线的距离；分析：先作出P到直线的距离，然后放入一个三角形求解；过点P作于点A，过点P作于点B，过点A作于点C；可得：为所求距离；显然，A、B、C、P四点共圆；PC为外接圆

4、直径；中，由余弦定理知：；题型三：判断三角形的形状；例3、在中，已知,判断的形状；分析：判断三角形的形状，一般有两条思路：（1）证明角的关系；（2）证明边的关系；法一：将角转化成边；原式转化为：，代入正弦定理：，应用余弦定理可得：，进一步化简得：；故：或，即：为等腰三角形或直角三角形；法二：将边转化成角；原式可化为：；代入正弦定理得：，即：；故：或；为等腰三角形或直角三角形；（变式）在中，已知,判断的形状；题型四：已知三角形中的边角混合式，解三角形；例4、在中，已知，且；求；解析：由于要求的是边，应将角转化为边；可化为：；继续应用余弦定理转化可得：；化简得：，结合：，可得：；解得：；例5、在中

5、，已知；求；解析：由于要求的是角，应尽量将所有的边转化为角；故：；解得；即：；解得：；由，；例6、在中，已知；（1）求角A；（2）若，求；解析：（1）边化角：；统一角：化简得：；进一步化简可得：；解得：；（2）从第一问得到启发，面积公式应用：可以解出；从再联想到余弦定理：；代入数据可得：；两式联立解得：；（变式）在中，已知，且成等比数列；（1）求的值；（2）若,求的值；总结：解决此类问题，变角转化是关键，统一变量是目的；题型五：三角形中的取值范围问题；例7、在中，已知；（1）求角A的大小；（2）若，求周长及面积的取值范围；解析：（1），即：；化简得：；角；（2）法一：转化为边；由余弦定理：；周

6、长；只需要求的取值范围即可；由三角形的性质知：；由基本不等式可得：，当且仅当时取等号成立；故：，即：，周长的取值范围是：；由于且；所以：；即：面积的取值范围是；法二：转化为角；由正弦定理知：；周长=；将代入并化简得：周长=，；周长的取值范围是：；面积的取值范围是；（变式1）将例7中的“”改为“锐角”“法一”将很难解决这个问题，而“法二”仅仅需要改变一下角B的取值范围即可； 将代入可得：；后面同上法；（变式2）在中，已知求的取值范围；解析：由正弦定理知：；由辅助角公式得：；故：；的取值范围是：；题型六：解三角形的应用题；例8、如图,A,B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点,现位于A点北偏

7、东 ,B点北偏西 的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西且与B点相距 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?解析：解:根据题意知 海里, ,在中,由正弦定理得, (海里),又,海里,在中,由余弦定理得 所以，救援船到达D点需要1小时.例9、福州青运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为米（如下图所示），则旗杆的高度为（）米A. B. C.20 D.30分析：;在中：即：米；所以，在中，米例10、如图，在中，已知点在边上，, , 则的长为 分析：在中：

8、；由余弦定理可知：，解得：；例11、（2013年高考新课标1（理）如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA解析：(1)由已知得,PBC=,PBA=30o,在PBA中,由余弦定理得=,PA=; (2)设PBA=,由已知得,PB=,在PBA中,由正弦定理得,化简得, =,=. 例11、在中，角A的角平分线AD交边BC于点D，且AB=2，CD=2DB，求AD的长；解析：如图：在中用正弦定理得：；在中用正弦定理得：；两式联立得：；解得：；例12、在中，AB=2，,D是AC上一点，且AD=2CD，,求BD的长；解析：如图：先解出；法