03 二次方程根的分布1学生

1、 第三讲二次方程根的分布（1）【一元二次方程根的分布】 （1）一元二次方程根的分布问题一般利用其相应的二次函数图像解决比较方便， 通常考察以下四点： 1）抛物线的开口方向；2）判别式D 的符号； 3）对称轴的位置；4）区间端点值的符号。（2）方程 f (x) = 0 在(a, b) 上有且只有一解的充要条件是 f (a) f (b) 0 。有关根的分布的一些基本结论列表如下： 1ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根 图像 条件 一根比r 大，一根比r 小 （特例：一正一负根(r = 0) ） yorxa f (r) ra f (r) 0 2两根在区间( p、q )内 yopq xD

2、 0b p - 0a f (q) 0一根小于 p ，另一根大于q（ p q ） yop qxa f ( p) 0a f (q) 0 【例1】 （1）方程(m +1)x2 + 4x - 5 + m = 0 有一正一负根，求m 的取值范围.（2）关于 x 的一元二次方程2ax2 - 2x - 3a - 2 = 0 的一根大于1，另一根小于1，求a 的取值范围. 【例2】 方程7x2 - (k +13)x + k 2 - k - 2 = 0 （ k 是常数）有两实根a、b ，且0 a 1,1 b 2 ，求k 的取值范围.3 【例3】 已知关于 x 的方程(m -1)x2 - 2mx + m2 + m

3、 - 6 = 0 的两根为a、b 且满足0 a 1 b ，求m 的取值范围.【例4】 确定k 的最大的整数值，使二次方程2x2 + k 2 x + 6k -1 = 0 分别满足下列条件：（1） 有一个实根比0 大，另一个实根比-3 小； （2） 有一个实根比1小，另一个实根比1大； （3） 有一个实根比-3 小，另一个实根在0 与1之间. 4 【例5】 方程3x2 -10x + n = 0 有两个正根，求n 的取值范围.【例6】 已知二次函数 y = (m -1)x2 + 8x + m - 7（1） m 在什么范围内时，它的图像与 x 轴有两个交点？ （2） 同（1），但要求两个交点在原点的同

4、一边（不包括原点）.【例7】 整系数方程 x2 + (k + 3)x + (2k + 3) = 0 的两根异号且正根的绝对值小于负根的绝对值，求k 的值. 5 【例8】 已知抛物线 y = x2 + (m + 4)x - 2(m + 6) ，当抛物线与 x 轴的两个交点都位于点（1，0）右侧时，求 m 的取值范围. 【例9】 a 取何值时，方程 x2 + 2ax + 2a +1 = 0 在区间（ -4, 0 ）中有两个不相等的实根.【例10】 已知关于 x 的方程 x2 - mx + 1 = 0 在-1 x 1 范围内有两个根，求m 的取值范围.46 若二次函数 y = -x2 + mx -1

5、的图像与两端点为 A(0, 3)，B(3, 0) 的线段 AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围. 【例11】【例12】 设二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 都是奇数，它的两个实根 x1、x 2 满足-1 x1 1 ，若b2 - 4ac = 5 ，求 x 、1x 2. 7 【例13】 确定 k 的值，使抛物线 y = kx2 + (k - 3)x +1(k 0) 与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧（不包括原点）. 8 【作业1】m 为何值时，关于 x 的方程 x2 - 2mx - (m -12) = 0 两根均大于2 ？【作业2】实数a 在什么范围内，关于 x 的方程3x2 - 5x + a = 0 的一