概率论与数理统计复习提要2.ppt

1、其样本空间S由n个基本 事件组成 ,第一章 概率论的基本概念,一 、理解基本概念,二、掌握事件概率的计算,S包含的基本事件总数,设试验E是古典概型,事件A由k个基本事件组成 .,则事件A发生的概率为：,P(A),A包含的基本事件数,（一）古典概型,（二）概率的计算公式,1 、对任意事件A,有0 P(A)1,2 、对任意事件A，有,（2）若事件A、B独立,则,3、加法公式,(1)若事件A、B互不相容(互斥),则有,(3)若A、B任两事件, 则有,P(A+B)= 1-P( ) P( ),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC),（6）

2、若事件A、B、C相容时, 则有,（5）若事件A1，A2， ，An相互独立,则P(AB)= P(A) P(B),（1）若事件A、B独立，,（3）若事件A1，A2， ，An相互独立,（4）若A1，A2， ，An为任n个事件,则,P (A1A2An）=P(A1)P(A2) P(A1A2An-1 An),4、乘法公式,（2）若A、B为任两事件，则,P(AB)=P(A) P(B|A) =P(B)P(A|B) ,P (A1A2An）=,P(A1),P(A2|A1),P(An| A1A2An-1),设试验E的样本空间为S,5 、全概率公式及贝叶斯公式:,则对任一事件A, 有,且有P(Bi)0， i =1,2

3、,n,B1,B2,Bn是两两互斥的事件,A为E的任一事件,6、设、B是任两个事件，则,3）设B1Bn 互不相容，则,P(B1Bn )| A = P(B1|A)+ +P(Bn|A)+ ,P(B1B )| A = P(B1|A)+ P(B|A) P(B1B|A）,P(B1B )| A = P(B1|A) P(B1B|A ）,三、条件概率的性质,1）对任一事件B，P(B|A)0;,2） P (S | A) =1 ；,2、已知,试求:(1),(2),(3),典型例子:,D,3、 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，则取得的两球恰有一黑球的概率为 。,4、袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个

4、白球， 今有两人依次从袋中各取一球，取后不放回，则 第二个人取到白球的概率 .,5、甲、乙、丙三台机床加工一批同一类 零件,其各机床加工零件的数量之比为5:3:2. 各机床加工的零件合格率依次为94%，90%, 95%,现从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是甲机床加工的概率为多少?,一、选择填空题,1、设随机事件A和B互不相容， P(A)0, P(B)0,则( ),(A) P(A)=1- P(B),(B) P(AB)=P(A)P(B),(C),(D),D,2、设A，B为随机事件，且P(B) 0, 则必有( ),C,3、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 其对立事件 为（

5、） （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销” （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,D,.,5、任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套含三卷，另一套含四卷，则两套各自放在一起的概率为（ ）。,4、袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球 则取得的两球恰有一黑球的概率为 。,三、甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,它是甲射中的概率.,四、设在全部产品中有2%是废品，而合格品有85%是一级品，求任抽出一个产品它是一级品的概率。,二、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率 为1/9 ，A发生B

6、不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A),五、已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合 格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02, 试求: (1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率; (2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确实是合格品的概率。,第二章 随机变量及其分布,一、随机变量的概念,随机变量是定义在样本空间上的单值实函数,简记为 r.v.,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母 等表示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.,通常分为两类：,随机变量,离散型随机变量,(连续型随机变量),所有可能取值为有 限个

7、或无穷可列个,所有可能取值充满某 一个区间.,非离散型随机变量,其中 (k=1,2, ) 满足性质：,k=1,2, ,（1）（非负性）,（2）(归一性）,p1 p2 pk ,x1 x2 xk ,X,pi,X的概率分布或分布律为：,1、离散型随机变量的分布律,二、离散型随机变量及其分布,数 x，有,1、连续型r.v X 的密度函数 f (x)，,若r.v X 的分布函数为F(x),连续型r.v的分布函数F(x)处处连续,则对任意实,三、 连续型随机变量及其分布,2、 密度函数f (x)的性质,四、常见随机变量及其分布,（1）0-1分布或两点分布,设随机变量X的分布律为,则称X服从（0-1）分布。

8、,（0 p 1）,0 1,X,pk,p,1-p,则X 的分布律为,若X b(n,p),(2) 二项分布,则E(X)=np,D(X)= np(1-p),其中 0 是常数,（ 3）泊松分布,则X 的分布律为,若,X P( )或X (),D(X),E(X),则 r.v X的概率密度为：,若X U(a,b),（4）均匀分布,D(X),则称 X 服从参数为的指数分布.,(5)指数分布,若 r.v X的概率密度为,（6）正态分布,则r.v X的概率密度为,其中, ( 0)为常数，,若XN,则X的密度函数为,若XN( 0,1 ),设 X 是一个 r.v，,则 X 的分布函数为,x为任意实数，,= F(x2)

9、-F(x1),P x1X x2 ,对任意实数 x1x2，,五、随机变量的分布函数,F(x) 是右连续的，,2、分布函数的性质,即 若 x1x2，则F(x1) F(x2) ;,F(x) 是单调不减的函数,且F( ) = F(x) = 0,F( ) = F(x) = 1,则其分布函数,若X为连续型随机变量，,即,F(x) 是处处连续的，,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,若离散型 r.v X的分布律为,则 Y=g(X)的分布律为,六、 随机变量函数的分布,其中,已知X的概率密度为 f(x)，,求Y=g(X)的概率密度,x=h(y)是y=g(x）的反函数,则Y=g(X)的概率密

10、度为,二、连续型随机变量函数的分布,若y=g(x)处处可导，,且恒有,或恒有,典型例子:,A,10,0.8,2,2,5、下列函数中， 可以作为随机变量的概率密度 的是 （ ）,A,6、 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求：（1）X的概率分布；（2） X的分布函数；,依题意, X可取值为,PX=0,设Ai=第 i 个路口遇红灯, i=1,2,3,解:,0, 1, 2, 3.,=1/2,=P(A1),=P( ),= 1/4,PX=1,=P( ),

11、=1/8,PX=2,=1/8,PX=3,= P( ),0 1 2 3,X,pi,X的分布律为,X的分布函数为,7、设随机变量X的概率密度为,求:(1),常数A;,(2),(3) X的分布函数,第三章 多维随机变量及其分布,一、二维随机变量(X,Y)的分布函数,二维随机变量(X,Y)的分布函数为,二、离散型r.v. X,Y的联合分布律用表格表示如下,X,Y,y1 y2 yj ,x1 x2 xi ,p11 p21 pi 1 ,p12 p22 pi 2 ,p1j p2j pi j , , ,联合分布律性质:,设(X,Y) 的分布律 为,P X =x i ,P Y = y j ,1,及边缘分布律,若存

12、在非 负可积的函数 f (x,y),三、二维连续型随机变量（X,Y）的分布,1 、 (X,Y) 的分布函数为F(x,y),使得对任意 x,y有,则称(X,Y)为连续型随机变量,函数 f (x,y)称为二维r.v(X,Y) 的概率密度,或称为r.v X,Y的联合概率密度,2、联合概率密度f (x,y)性质:,结论:,( X,Y )关于Y的边缘概率密度为,( X,Y )关于X的边缘概率密度为,3、设r.v X,Y 的联合概率密度为f (x,y),若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,4、二维均匀分布,设G是平面上的有界区域，,其面积为A,5、二维正态分布,二维

13、正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 .,( X,Y)N( ),X与Y 独立,四 、 随机变量的独立性,设 F(x, y )及 是二维r.v（X,Y）,的分布函数及边缘分布函数,X、Y相互独立,则,离散型r.v X、Y相互独立,连续型r.v X、Y相互独立,则下列命题正确的是（ ）,1、设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为,D,典型例子:,2、 设离散型r.v（X,Y）的分布律为,(1) 求PX=Y, F(1,1); (2) 求关于X与Y的边缘分布律;,X,Y,1 2,-1 0 1,0.1 0.2 0.1,0.4 0.2 0,(3)判别X与Y的独立性.,3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

14、,求：（1）常数A；,（3）（X，Y）的边缘概率密度,（4）X，Y是否独立?,（2）概率,(1) 求概率,(2) 求关于X、Y的边缘概率密度; (3) 判别X与Y的独立性.,4、设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,第四章 随机变量的数字特征,一、 数学期望,P(X=xk)=pk , k=1,2,1 、若X是离散型随机变量，,其分布律为:,则X的数学期望为,2 、若X是连续型随机变量，,其概率密度,为f (x),则X的数学期望为,3、随机变量函数的数学期望,设Y是随机变量X的函数：,Y=g(X)，,连续函数),（g是,X是离散型r.v,X是连续型r.v,其中r.vX的分布已知，,则,4、数学

15、期望的性质,5、常见随机变量的数学期望,则X的方差为,1 、设X是一个随机变量，,D(X)=,EX-E(X)2,二、方差,X为离散型r.v， P(X=xk)=pk,X为连续型r.v， Xf(x),D(X)=E(X2)-E(X)2,3、常见随机变量的方差,2、方差的性质,三、协方差、相关系数,两个r.v X与Y的协方差为,E X-E(X)Y-E(Y) ,Cov(X,Y)=,=E(XY) -E(X)E(Y),Cov(X,Y)= 0 .,若X与Y独立，,随机变量X和Y的相关系数为,相关系数的性质：,2、X和Y独立,X和Y不相关,X和Y独立,X和Y不相关,则称X和Y不相关 .,存在常数a,b(b0），

16、,使PY=a+bX=1，,C,2、X与Y 的联合分布律为：,则在X和Y 的下列关系中正确的是（ ）,(A) 独立，不相关,(B) 独立，相关,(C)不独立，不相关,(D)不独立，相关,D,3、设随机变量X与Y的方差存在且不等于0，则,是X和Y（ ）,（A）不相关的充分条件，但不是必要条件； （B）不相关的必要条件，但不是充分条件，； （C）独立的必要条件，但不是充分条件； （D）独立的充分必要条件.,C,是X和Y不相关的充分必要条件,第七章 参数估计,(点估计),矩估计法,最大似然估计法,构造估计量的常用方法,1、掌握矩估计法与最大似然估计法,会求矩估计量及最大似然估计量;,2、掌握无偏性、有效性的判别,会求最小方差无偏估计;,3、熟记单正态总体均值的置信区间，会求 相应的置信区间,例3 设X1,X2, X3, X4是取自均值为 的指数分布,总体X的样本,为未知参数,设有估计量,练习题,1,A.B.C,A,4、设 为总体X的一个样本,且,下列 的最小方差无偏估计量是（ ）,B, 4.412, 5.588 ,C,第八章 假设检验,一、正态总体 中均值 的检验,H0：,H1：,需检验假设,由于方差,算出检验统计量 Z的实测值 z ,若实测值z落入拒