高三数学教案：空间向量的直角坐标及其运算4

1、空间向量的直角坐标及其运算(4)教学目的： s1. 进一步掌握空间向量的夹角、 距离等概念，并能熟练运用；2. 能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题；3. 了解平面法向量的概念教学重点：向量的数量积的综合运用教学难点：向量的数量积的综合运用教学过程：一、复习引入：1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个r r rz基底叫单位正交基底 ，用 i, j , k 表示；（2）在空间选定一点 o 和一个单位正交基底r r ra(x,y,z) i, j ,k ，以点 o 为原点，分别以r r r的方向为正方向建立三条数轴：x轴、 轴、i, j , kyko

2、jyixz 轴，它们都叫坐标轴 我们称建立了一个空间直角坐标系o xyz ，点 o 叫原点，向量r rri , j , k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xoy 平面， yoz 平面， zox平面；2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 oxyz 中，对空间任一点 a ，存在唯一的uuurrr有序实数组 (x, y, z) ，使 oaxiyj zk ，有序实数组 (x, y, z) 叫作向量a 在空间直角坐标系 o xyz 中的坐标，记作 a( x, y, z) ，x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标3空间向量的直角坐标运算律：第 1页共 8页rrrrb2

3、, a3 b3 ) ，（1）若 a(a1 , a2 , a3 ) ， b(b1 ,b2 , b3 ) ，则 a b(a1 b1, a2rrb3 ) ，rr) ，a b (a1b1 , a2b2 , a3a ( a1 , a2 , a3 )(rra2 b2 a3b3 ，rrr) ，a b a1b1a / ba1 b1, a2b2 , a3b3 (rr0 a b a1b1a2b2a3b3uuurx1 , y2 y1 , z2 z1 ) （2）若 a( x1 , y1, z1 ) ， b( x2 , y2 , z2 ) ，则 ab ( x2一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

4、的坐标减去起点的坐标rr(b1, b2 ,b3 ) ，4 模长公式： 若 a( a1 ,a2 , a3 ) ， brr r222r则 | a |a aa1a2a3， |b |rrr rra br5夹角公式： cos a b| a | |b |r rb12b22b32 b ba1b1a2 b2a3b3a12a22a32b12 b22b326两点间的距离公式： 若 a( x1 , y1, z1 ) ， b( x2 , y2 , z2 ) ，uuuruuur2( x2x1) 2( y2y1) 2( z2z1)2 ，则 | ab |ab或 da, b( x2x1) 2( y2y1) 2(z2z1) 2

5、rr的法向量 7. 如果 a ，那么向量 a 叫做平面二、例题例 1（本小题满分12 分） (2005 年高考福建卷理20 文 21)如图，直二面角d ab e 中，四边形abcd 是边长为 2的正方形， ae=eb ，f 为ce 上的点，且bf 平面 ace.第 2页共 8页（）求证ae 平面 bce ；（）求二面角bac e 的大小；（）求点d 到平面 ace 的距离 .例 2（本小题满分12 分）(2005 年高考 全国卷 理 18 文 18)已知四棱锥pabcd的底面为直角梯形， ab/dc ， dab=90 ， pa底面 abcd ，且 pa=ad=db= 1 ab=1 ， m2是

6、pb 的中点 .（ 1）证明：面 pad面 pcd ；（ 2）求 ac 与 pb 所成的角；第 3页共 8页（3）求面 amc 与面 bmc 所成二面角的大小.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力 .满分 12 分.方法一：（）证明： pa面 abcd ，cd ad ，由三垂线定理得：cd pd.因而， cd 与面 pad 内两条相交直线ad ，pd 都垂直， cd 面 pad.又 cd 面 pcd ，面 pad 面 pcd.（）解：过点 b 作 be/ca ，且 be=ca ，则 pbe 是 ac 与 pb 所成

7、的角 .连结 ae ，可知 ac=cb=be=ae=2 ，又 ab=2 ，所以四边形 acbe 为正方形 .由 pa面 abcd 得 peb=90 在 rt peb 中 be= 2，pb=5 ，cos pbebe10 .pb5ac与 pb所成的角为 arccos10 .5（）解：作an cm ，垂足为 n，连结 bn.在 rt pab 中， am=mb ，又 ac=cb ， amc bmc,第 4页共 8页bn cm ，故 anb 为所求二面角的平面角. cb ac ，由三垂线定理，得 cb pc ，在 rt pcb 中， cm=mb ，所以 cm=am.在等腰三角形amc 中， an mc=

8、accm 2() 2ac ，326 .an 2bn 2ab 22an2ab=2 ， cos anb552anbn322故所求的二面角为arccos().方法二：因为papd， pa ab ， ad ab ，以 a 为坐标原点ad 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为a （ 0， 0，0） b （ 0， 2， 0）， c（ 1，1， 0），d（1， 0， 0）， p（ 0，0， 1）， m （0， 1， 1) .2（）证明：因ap(0,0,1), dc(0,1,0), 故 ap dc0,所以 apdc .由题设知 ad dc ，且 ap 与 ad 是平面 pad 内的两条相交直线，

9、由此得dc 面 pad.又 dc 在面 pcd 上，故面 pad 面pcd.（）解：因 ac (1,1,0), pb( 0,2,1),故 | ac | 2 ,| pb | 5, acpb2, 所以cos ac, pbac pb10 .| ac | | pb |5（）解：在 mc 上取一点 n（ x，y，z），则存在r, 使 ncmc,nc (1 x,11), x1y, z), mc (1,0,1 , y 1, z.22第 5页共 8页要使 anmc , 只需 anmc0即 x1 z0,解得4 .25可知当4时 , n 点坐标为 (1,1,2 ),能使 anmc0.555此时 , an( 1,1

10、, 2), bn(1,1,2 ), 有 bn mc05555由 an mc0, bnmc0得 anmc , bn mc.所以anb 为所求二面 角的平面角 .| an |30 ,| bn |30 , an bn4 .555cos(an, bn )anbn2 .| an | bn |32故所求的二面角为 arccos().例 3（本小题满分12 分） (2005 年高考全国卷ii 理 20 文20)如图，四棱锥pabcd中，底面 abcd 为矩形，pd底面 abcd ，ad=pd ，e、f 分别为 cd 、pb 的中点 .（）求证： ef平面 pab；（）设 ab=2 bc ，求 ac 与平面

11、aef 所成的角的大小.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力。满分12 分。证明：（）证明：连结ep， q pd底面 abcd ，de 在平面第 6页共 8页abcd 内，pdde 。又 ce ed ，pd ad bc ， rt bce rt pde ,pe be.q f 为 pb 中点， efpb.由三垂线定理得 paab ，在 rt pab中， pfaf 。又 pe be ea ，rt efp rt efa , effa.q pb 、fa 为平面 pab 内的相交直线， ef 平面 pab。（）解：不妨设bc 1，则ad pd 1，ab 2 ，pa2 ，ac 3pab 为等腰直角三角形，且pb 2，f 为其斜边中点， bf 1，且 af pb。q pb 与平面 aef 内两条相交直线ef 、af 都垂直， pb平面aef 。连结 be 交 ac 于 g，作 gh bp 交 ef 于 h ，则 gh平面 aef ，gah 为 ac 与平面 aef 所成的角。由 egc bga 可知 eg 1gb, eg1eb, ag2ac2 3 ，2333由 ech ebf 可知 gh1 bf1 ，33gh3 sin gah.ag6 ac 与平面 aef