用二重积分计算旋转体的体积.ppt

1、6.2 定积分的几何应用 1,用二重积分计算旋转体的体积,蜀南竹海,6.2 定积分的几何应用 2,作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。 本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。 将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、 最后，举例加以说明。,6.2 定积分的几何应用 3,先看特殊的情形,旋转轴为坐标轴,6.2 定积分的几何应用 4,设D是上半平面内的一个有界闭区域。 将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。,我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。,D,6.2 定积分的几何应用 5,D,在区域D的(x,y)处取一个面积元素,它到

2、x轴的距离是 y （如图）。,该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：,（体积元素）,于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：,6.2 定积分的几何应用 6,D,命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：,6.2 定积分的几何应用 7,D,命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：,同理,6.2 定积分的几何应用 8,下面针对不同的区域将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式,6.2 定积分的几何应用 9,x型区域绕 x轴旋转,6.2 定积分的几何应用 10,y=f(x),如果,圆片法,则D绕 x轴旋转的旋转体体积为：,6.2 定积分

3、的几何应用 11,y=f(x),y=g(x),如果,则D绕 x轴旋转的旋转体体积为,垫圈法,6.2 定积分的几何应用 12,y型区域绕 y轴旋转,6.2 定积分的几何应用 13,x=f(y),如果,则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：,圆片法,6.2 定积分的几何应用 14,x=f(y),x=g(y),如果,则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：,垫圈法,6.2 定积分的几何应用 15,x型区域绕 y轴旋转！,注意：一般教材没有介绍这个公式。,6.2 定积分的几何应用 16,y=f(x),y=g(x),如果,则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：,柱壳法,6.2 定积分的几何应用 17,下面看一个极坐标的情形

4、,6.2 定积分的几何应用 18,如果D是曲边扇形：,则D绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：,6.2 定积分的几何应用 19,我们用命题1来推导一个有关区域D的形心(质心)和旋转体体积之间的关系的定理： 古尔丁定理,Paul Guldin（古尔丁） 1577 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.,6.2 定积分的几何应用 20,D,上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积。,古尔丁定理,形心,A,6.2 定积分的几何应用 21,D,形

5、心,A,如果你很容易求得D的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。,6.2 定积分的几何应用 22,下面来看一般的情形,一般的区域 x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x: int(f(x,y),y=y1.y2); int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2); (2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots): quxian:=plot(x2,2*x

6、,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 28,例2 求由x=y2和y=x2所围区域D绕直线 y=x-1旋转的旋转体体积V。,f:=(x,y)-y-x+1; x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x): int(f(x,y),y=y1.y2); int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2); sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt

7、(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots): quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 29,例3 求由y=0,y=lnx和x=e所围区域D绕直线 y=-x旋转的旋转体体积V。,f:=(x,y)-y-x+1; x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x): int(f(x,y),y=y1

8、.y2); int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2); sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots): quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 30,也可以按先x后y的积分次序计算二重积分：,f:=(x,y)-x+y; y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp(1): sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),x=x1(y).x2(y)