北京市石景山区2016届高三上期末数学试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，则 MN=（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 2若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 3如图的程序框图表示算法的运行结果是（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 4已知数列 等差数列， ， ，则前 n 项和 最大的是（ ） A “”是 “直线 2x+1=0 与直线 y 2=0 平行 ”的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 6若曲线 p 0）上只有一个点到其焦点的距离为 1，则 p 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7 如图，点 O 为正方体 ABCD的中心，点 E 为面 B中心，点 F 为 BC的中点，则空间四边形 D该正方体的各个面上的投影不可能是（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 8如图，在等腰梯形 ， ， E， F 分别是底边 中点，把四边形直线 起，使得面 面 动点 P 平面 平面 成的角分别为 1， 2（ 1， 2 均不为 0）若 1=2，则动点 P 的轨迹为（ ） A直线 B椭圆 C圆 D抛物线 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在复平面内，复数 对应的 点到原点的距离为 10 的二项展开式中 x 项的系数为 （用数字作答） 11在 ，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，且 a=15， b=10， A=60，则 12在极坐标系中，设曲线 =2 和 相交于点 A， B，则 | 13 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 种（用数字作答） 14股票交易的开 盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 元，能够成交的股数为 卖家意向价（元） 向股数 200 400 500 100 买家意向价（元） 向股数 600 300 300 100 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 f（ x） =2 x， x R （ ）求函数 f（ x）的最小正周期与单调增区间； 第 3 页（共 18 页） （ ）求函数 f（ x）在 上的最大值与最小值 16某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取 12 名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示根据学生体质健康标准，成绩不低于 76 的为优良 （ ）写出这组数据的众数和中位数； （ ）将频率视为概率根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选 3 人进行体质健康测试，求至少有 1 人成绩是 “优良 ”的概率； （ ）从抽取的 12 人中随机选取 3 人，记 表示成绩 “优良 ”的学生人数，求 的分布列及期望 17在四棱锥 P ，侧面 底面 E 为 点，底面 0， D=， （ ）求证： 平面 （ ）求证 ： 平面 （ ）在线段 是否存在一点 Q，使得二面角 Q P 为 45？若存在，求 的值；若不存在，请述明理由 18已知函数 f（ x） =x 1+ （ a R， e 为自然对数的底数） （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； （ ）求函数 f（ x）的极值； （ ）当 a=1 的值时，若直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点，求 k 的最大值 19已知椭圆 C： （ a b 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 （ ）求椭圆 C 的标准方程； 第 4 页（共 18 页） （ ）设 F 为椭圆 C 的左焦点， M 为直线 x= 3 上任意一点，过 F 作 垂线交椭圆 ， Q证明： 过线段 中点 N（其中 O 为坐标原点） 20给定一个数列 在这个数列里，任取 m（ m 3， m N*）项，并且不改变它们在数列 的先后次序，得到的数列 一个 m 阶 子数列 已知数列 通项公式为 （ n N*， a 为常数），等差数列 数列 一个 3 子阶数列 （ 1）求 a 的值； （ 2）等差数列 ， 一个 m（ m 3， m N*）阶子数列，且 （ k 为常数， k N*， k 2），求证： m k+1 （ 3）等比数列 ， 一个 m（ m 3， m N*）阶子数列，求证： c1+2 第 5 页（共 18 页） 2015年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，则 MN=（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出集合 N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论 【解答】 解： N=x|3x+2 0=x|（ x 1）（ x 2） 0=x|1 x 2， MN=1， 2， 故选： D 2若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=2x+y 为 y= 2x+z， 由图可知，当直线 y= 2x+z 过 A（ 2， 0）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 4 故选： D 3如图的程序框图表示算法的运行结果是（ ） 第 6 页（共 18 页） A 2 B 2 C 1 D 1 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=5 时满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为 2 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=0， i=1 不满足条件 i 4，不满足条件 i 是偶数， S=1， i=2 不满足条件 i 4，满足条件 i 是偶数， S= 1， i=3 不满足条件 i 4，不满足条件 i 是偶数， S=2， i=4 不满足条件 i 4，满足条件 i 是偶数， S= 2， i=5 满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为 2 故选： A 4已知数列 等差数列， ， ，则前 n 项和 最大的是（ ） A 考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由 等差数列， ， ，解得 6， d= 4故 28n= 2（ n ）2+ 由此能求出结果 【解答】 解： 等差数列， ， ， ，解得 6， d= 4 6n+ 第 7 页（共 18 页） = 28n = 2（ n ） 2+ 当 n=4 或 n=5 时， 最大值 故选 B 5 “”是 “直线 2x+1=0 与直线 y 2=0 平行 ”的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 两条直线平行的判定 【分析】 本题考查线线平行关系公式的利用，注意 2 条线是否重合 【解答】 解： 两直线平行 斜率相等即可得 ， 又因为不能重合，当 a=1， b=4 时，满足 ，但是重合， 所以选 C 6若曲线 p 0）上只有一个点到其焦点的距离为 1，则 p 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的性质求出 p 即可 【解答】 解：因为抛物线关于抛物线的轴对称，所以抛物线顶点到焦点的距离唯一， 可得 ， p=2 故选： C 7如图，点 O 为正方体 ABCD的中心，点 E 为面 B中心，点 F 为 BC的中点，则空间四边形 D该正方体的各个面上的投影不可能是（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果 【解答】 解：由题意知光线从上向下照射，得到 C， 光线从前向 后照射，得到 A， 光线从左向右照射得到 B， 故空间四边形 D该正方体的各个面上的投影不可能是 D， 故选： D 第 8 页（共 18 页） 8如图，在等腰梯形 ， ， E， F 分别是底边 中点，把四边形直线 起，使得面 面 动点 P 平面 平面 成的角分别为 1， 2（ 1， 2 均不为 0）若 1=2，则动点 P 的轨迹为（ ） A直线 B椭圆 C圆 D抛物线 【考点】 轨迹方程 【分析】 先确定 以 在直线为 x 轴， 垂直平分线为 y 轴建立坐标系，求出轨迹方程，即可得出结论 【解答】 解：由题意， 1=2， 以 在直线为 x 轴， 垂直平分线为 y 轴建立坐标系，设 E（ a， 0） ， F（ a， 0）， P（ x， y），则 （ x+a） 2+ （ x a） 2+ 30，轨迹为圆 故选： C 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在复平面内，复数 对应的点到原点的距离为 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的 幂运算性质化简复数，求出其在复平面内的对应点的坐标，利用两点间的距离公式求得复数对应的点到原点的距离 【解答】 解：复数 = = = 1+i，其对应点的坐标为（ 1， 1）， 该点到原点的距离等于 = ， 故答案为 10 的二项展开式中 x 项的系数为 5 （用数字作答） 第 9 页（共 18 页） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得展开式中 x 项的系数 【解答】 解： 的二项展开式的通项公式为 = （ 1） r ，令=1，求得 r=1， 可得展开式中 x 项的系数为 = 5， 故答案为： 5 11在 ，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，且 a=15， b=10， A=60，则 【考点】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得， 可求 后结合大边对大角及同角平方关系即可求解 【解答】 解： a=15， b=10， A=60 由正弦定理可得， = = a b A B B 为锐角 = 故答案为： 12在极坐标系中，设曲线 =2 和 相交于点 A， B，则 | 2 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 由 =2，得 x2+，由 ，得 x=1，由此联立方程组能求出交点 A、 B，由此能求出 | 【解答】 解： =2， x2+， ， x=1， 联立 ，得 或 ， A（ 1， ）， B（ 1， ）， |2 故答案为： 2 第 10 页（共 18 页） 13 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 72 种（用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分 析】 把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到 2位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中，问题得以解决 【解答】 解：把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中， 故有 2 种， 故答案为： 72 14股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多（注：当卖方意向价不高 于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 ，能够成交的股数为 600 卖家意向价（元） 向股数 200 400 500 100 买家意向价（元） 向股数 600 300 300 100 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 分别计算出开盘价为 买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论 【解答】 解：依题意，当开盘价为 时，买家意向股数为 600+300+300+100=1300， 卖家意向股数为 200，此时能够成交的股数为 200； 当开盘价为 时，买家意向股数为 300+300+100=700， 卖家意向股数为 200+400=600，此时能够成交的股数为 600； 当开盘价为 时，买家意向股数为 300+100=400， 卖家意向股数为 200+400+500=1100，此时能够成交的股数为 400； 当开盘价为 时，买家意向股数为 100， 卖家意向股数为 200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为 100； 故答案 为： 600 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 f（ x） =2 x， x R （ ）求函数 f（ x）的最小正周期与单调增区间； （ ）求函数 f（ x）在 上的最大值与最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ ）先化简函数可得 f（ x） = ，即可求函数 f（ x）的最小正周期与单调增区间； 第 11 页（共 18 页） （ ）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数 f（ x）在 上的最大值与最小值 【解答】 解： = （ ） f（ x）的最小正周期为 令 ，解得 ， 所以函数 f（ x）的单调增区间为 （ ）因为 ，所以 ，所以 ， 于是 ，所以 0 f（ x） 1 当且仅当 x=0 时， f（ x）取最小值 f（ x） f（ 0） =0 当且仅当 ，即 时最大值 16某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取 12 名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示根据学生体质健康标准，成绩不低于 76 的为优良 （ ）写出这组数据的众数和中位数； （ ）将频率视为概率根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选 3 人进行体质健康测试，求至少有 1 人成绩是 “优 良 ”的概率； （ ）从抽取的 12 人中随机选取 3 人，记 表示成绩 “优良 ”的学生人数，求 的分布列及期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）利用茎叶图能求出这组数据的众数，中位数 （ ）抽取的 12 人中成绩是 “优良 ”的频率为 ，由此得到从该校学生中任选 1 人，成绩是 “优良 ”的概率为 ，从而能求出 “在该校学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩是 优良 ”的概率 第 12 页（共 18 页） （ ）由题意可得， 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相对应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ ）这组数据的众数为 86，中位数为 86 （ ）抽取的 12 人中成绩是 “优良 ”的频率为 ， 故从该校学生中任选 1 人，成绩是 “优良 ”的概率为 ， 设 “在该校学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩是 优良 的事件 ”为 A， 则 P（ A） =1 =1 = （ ）由题意可得， 的可能取值为 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = = ， P（ =3） = = = ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 P = 17在四棱锥 P ，侧面 底面 E 为 点，底面 0， D=， （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ） 在线段 是否存在一点 Q，使得二面角 Q P 为 45？若存在，求 的值；若不存在，请述明理由 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 第 13 页（共 18 页） 【分析】 （ ）取 点 F，连结 F，从而 而平面 平面 此能证明 平面 （ ）推导出 此能证明 平面 （ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段 存在 Q（ 0， 2 ， 2 ），使得二面角 Q P 为 45，= 【解答】 证明：（ ）取 点 F，连结 E 为 点， D=， ， F， 四边形 平行四边形， F=F， D=D， 面 面 平面 平面 面 平面 （ ） 在四棱锥 P ，侧面 底面 底面 底面 直角梯形， 0， D=， ， C= = ， D=D， 平面 解：（ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， D（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 2， 0），设 Q（ 0， b， c）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， 1）， =（ 0， b， c）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 0）， 设平面 法向量 =（ 则 ，取 ，得 =（ 1， 1， ）， 二面角 Q P 为 45， = = ，解得 = ， Q（ 0， ， c）， ，解得 c=2 ， Q（ 0， 2 ， 2 ）， = = 第 14 页（共 18 页） 在线段 存在 Q（ 0， 2 ， 2 ），使得二面角 Q P 为 45， = 18已知函数 f（ x） =x 1+ （ a R， e 为自然对数的底数） （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； （ ）求函数 f（ x）的极值； （ ）当 a=1 的值时，若直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点，求 k 的最大值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）依题意， f（ 1） =0，从而可求得 a 的值； （ ） f（ x） =1 ，分 a 0 时 a 0 讨论，可知 f（ x）在 （ ， 单调递减，在（ +）上单调递增，从而可求其极值； （ ）令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ，则直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点 方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解，分 k 1 与 k 1 讨论即可得答案 【解答】 解：（ ）由 f（ x） =x 1+ ，得 f（ x） =1 ， 又曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线平行于 x 轴， f（ 1） =0，即 1 =0，解得 a=e （ ） f（ x） =1 ， 当 a 0 时， f（ x） 0， f（ x）为（ ， +）上的增函数，所以 f（ x）无极值； 当 a 0 时，令 f（ x） =0，得 ex=a， x= x （ ， f（ x） 0； x （ +）， f（ x） 0； f（ x）在 （ ， 单调递减，在（ +）上单调递增， 故 f（ x）在 x=取到极小值，且极小值为 f（ =极大值 综上，当 a 0 时， f（ x）无极值；当 a 0 时， f（ x）在 x=取到极小值 极大值 第 15 页（共 18 页） （ ）当 a=1 时， f（ x） =x 1+ ，令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ， 则直线 l： y=1 与曲线 y=f（ x）没有公共点， 等价于方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解 假设 k 1，此时 g（ 0） =1 0， g（ ） = 1+ 0， 又函数 g（ x）的图象连续不断，由零点存在定理可知 g（ x） =0 在 R 上至少有一解， 与 “方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解 ”矛盾，故 k 1 又 k=1 时， g（ x） = 0，知方程 g（ x） =0 在 R 上没有实数解， 所以 k 的最大值为 1 19已知椭圆 C： （ a b 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）设 F 为椭圆 C 的左焦点， M 为直线 x= 3 上 任意一点，过 F 作 垂线交椭圆 ， Q证明： 过线段 中点 N（其中 O 为坐标原点） 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ I）由椭圆 C 的焦距为 4，及等边三角形的性质和 a2=b2+得 a， b，即可求椭圆 C 的标准方程； （ ）设 M（ 3， m）， P（ Q（ 中点为 N（ m，设直线 方程为 x=2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证 【解答】 解：（ ）由题意可得 c=2，