【精品实用】数学实验与建模实验指导书

数学实验与建模实验指导书 理学院数学系 黄静静 一、 实验简介 “数学建模 ”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。 二 、实验目的 通过基础实验 ,使学生加深对 “数学建模 ”课 程中基本理论和基本方法的理解 ,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。 计算机的应用在数学建模的教学中占有重要地位，在为解决实际问题而建立数学模型的过程中、对所建模型的检验以及大量的数值计算中，都必需用到计算机。数学实验与建模的实验课的目的是通过实验培养并提高学生的数学建模能力和计算机应用能力。 三、实验任务 通过一些实例初步掌握建立数学模型的方法，练习运用 件求解数学规划问题，对问题中的各 有关变量进行分析、计算，给出分析和预测结果。 四、实验环境介绍 计算机房 五、实验学时数 4 学时 六 、 适用专业 信息与计算科学 专业 七、实验内容： 利用 解数学规划模型 1、数学规划模型简介： 在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等许多领域中，人们经常遇到的一类决策问题是：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使关注的某个或多个指标达到最大（或最小）的决策。例如，结构设计要在满足强度要求条件下选择材料的尺寸，使其总重量最轻；资源分配要在有限资源约束下制定各用户的分配数量，使资源产生的 总效益最大；运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高。 上述这种决策问题通常称为优化问题。人们解决这些优化问题的手段大致有以下几种： 1）依赖过去的经验判断面临的问题。这似乎切实可行，并且没有太大的风险，但是其处理过程会融入决策者太多的主观因素，常常难以客观地加以描述，从而无法确认结果的最优性。 2）做大量的试验反复比较。这固然比较真实可靠，但是常要花 费太多的资金和人力，而且得到的最优结果基本上离不开开始设计的试验范围。 用数学建模的方法建立数学规划模型求解最优决策。虽然由于建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用，具有前两种手段无可比拟的优点。如果在次基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答，是解决这种问题最有效、最常用的方法之一。在决策科学化、定量化的呼声日益高涨的今天，用数学建模方法求解优化问题，无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。 数学规划模 型一般有三个要素：一是 决策变量 ，通常是该问题要求解的那些未知量，不妨用 n 维向量 x=(x1,x n)T 表示；二是 目标函数 ，通常是该问题要优化（最小或最大）的那个目标的数学表达式，它是决策变量 x 的函数，这里抽象地记作 f(x)；三是 约束条件 ，由该问题对决策变量的限制条件给出，即 x 允许取值的范围 x ,称可行域，常用一组关于 x 的不等式（也可以有等式） gi(x) 0(I=1,2, ,m)来界定。一般地，这类模型可表示成如下形式： z=f(x) （ 1） gi(x) 0 （ 2） 这里 最优化的意思，可以是求极小 求极大 “受约束于”的意思，满足（ 2）式的解 x 称为 可行解 ，同时满足（ 1）式，（ 2）式的解 x*称为 最优解 。 模型（ 1），（ 2）是微积分中多元函数的条件极值问题。当约束条件（ 2）比较简单（如全为等式）时，多元微积分中介绍过求解析解的基本原理和方法，即令目标函数（对等式约束需要加上与其对应的 拉格朗日乘子的乘积项）的偏导数为零，求出驻点后再比较驻点上的函数值。但是，大多数实际问题归结的上述形式的模型很难用这种方法求解，因为：第一，解析方法只能处理目标函数 f 和约束条件 且决策变量个数 n，约束条件个数 m 比较小的情形，当 f， 微复杂时通常至少需要求解比较复杂的非线性方程（组），很难得到解析解；第二，当最优解在可行域的边界上取得时（不少实际问题正是如此），就不能用原有的求条件极值的方法求解，所以对于优化问题的这类模型必须寻求有效的数值解法。 当模型（ 1），（ 2）中决策变量 x 的所有分量 i =1, n)均为实数，且 f,i =1, m)都是线性函数时，称为线性规划。若 f,少有一个非线性函数，则称为非线性规划。若 x 至少有一个分量只取整数，则称为整数规划。线性规划和非线性规划是连续规划，而整数规划是离散优化（组合优化），它们统称为数学规划。 2、 件简介： 由美国芝加哥大学的 1986 年开发的优化计算软件包， 以用来求解线性规划、线性整数规划 、二次规划和整数二次规划，而 此之外还可以解非线性规划和非线性整数规划。从 司的主页（ ）上同学们可以了解更多的有关信息，并可以下载软件的试用版。 3、具体实验案例： 用 件求解简单的线性规划模型 例 1如何在 0,6002100350. *x1+350; 100; 2*x1+0% =60% 500 1650 B 800 1200 成品油甲和乙的销售价与加工费之差分别为 5 和 位 :千元 /吨 ),原油 A,B 的采购费分别是采购量 x (单位 :吨 )的分段函数 )(),( 单位 :千元 ),该企业的现有资金限额为 7200(千元 ),生产成品油乙的最大能力为 2000 吨 ,假设成品油全 部能销售出去 ,试在充分利用现有资金和现有库存的条件下 ,合理安排采购和生产计划 ,使企业的收益最大 . 1000,215001000500,35005000,4)( 800,回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容 请回顾一下内容