2017学年(2018届)上海高三数学一模(松江卷)

松江区2017学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.12一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第16题每个空格填对得4分，第712题每个空格填对得5分，否则一律得零分1计算： 2已知集合，则 3已知为等差数列，为其前项和，若，则 4已知函数的反函数为，且，则实数 5已知角的终边与单位圆交于点，则= 6右图是一个算法的程序框图，当输入值为8时，则其输出的结果是 .7函数的图像与的图像在区间上交点的个数是 8若直线与圆相交于、两点，且，则= 9在中，的面积为若，则的最小值为 10. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为 11. 定义，已知函数的定义域都是，则下列四个命题中为真命题的是 （写出所有真命题的序号 ） 若都是奇函数，则函数为奇函数 若都是偶函数，则函数为偶函数 若都是增函数，则函数为增函数 若都是减函数，则函数为减函数12已知数列的通项公式为，若对任意都有，则实数的取值范围为 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则的值为A. B. C. D. 14已知是上的偶函数，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15若存在使成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 16. 已知曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 三解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在中，（1）求边的长；（2）求的面积18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数 ,常数 .（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当时，研究函数在内的单调性.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔（单位：分钟）满足经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔相关，当时电车为满载状态，载客量为400人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人.记电车载客量为.（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量;（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知椭圆经过点，其左焦点为.过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点. （1）求椭圆的方程； （2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，若四边形的面积为，求直线的方程；（3）设,求证：为定值.21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知有穷数列共有项（），且（）（1）若，试写出一个满足条件的数列；（2）若，求证：数列为递增数列的充要条件是；（3）若，则所有可能的取值共有多少个？请说明理由松江区2017学年度第一学期高三期末考试数学试卷参考答案一填空题1 2 3100 43 5 6. 27. 4 80 9 10 11 12二、选择题13B 14A 15B 16.C三解答题17 解：（1）由，且， 2分6分（2）在中， 10分， 12分所以 14分18 解：（1）当时， 对任意， 为偶函数3分 当时， 4分 5分 函数既不是奇函数，也不是偶函数 6分（2）时，在内单调递减，在内单调递增8分此时，当时， ， 10分由 单调递减知单调递减 11分当时， ， 13分由 单调递增知单调递增 14分19. 解：（1）由题意知 （为常数 ）2分 4分 5分（人） 7分（2）由 可得 9分当时，当且仅当时等号成立 11分当时，当时等号成立 13分当发车时间间隔分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为60元.14分20.解：（1）由题意得， 2分解得 3分椭圆的方程为 4分 设直线：, 5分由 消去得， 6分则，（*） 8分（2） 同理10分 解得或 ，或因为,所以，或直线的方程为，或 12分（3），得， ， 14分.16分21解：（1）和； 4分（2）证明：必要性 若为递增数列，由题意可得 5分 于是得到，因为，所以； 7分充分性 由题意， 所以 8分 因此，即， 又因为， 所以，因此是递增数列； 综上：结论得证； 10分（3） 解：由题意得， 假设，其中，显然， 12分若 中有项取负值，则有 (*) 因此，的所有可能值与的差必为偶数 14分下面用数学归纳法证明可以取到与之间相差的所有整数，由(*)知，只需证明从中任取一项或若干项相加，可以得到从到的所有整数值即可。当时，显然成立，当时，从中任取一项或两项相加，可以得到从，结论成立，15分假设时，结论成立，即从中任取一项或