06 简单的数论问题12015寒假 初二数学自招进度一班教师

简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 1 / 8 第六讲 简单的数论问题（1） 1. 如果一个整数能被 2 整除，称该整数为偶数通常表示为2n， （n是整数） 如果一个整数不能被 2 整除，称该整数为奇数通常表示为21n或21n-（n是整数） 2. 能被 2 整除的整数，个位上数字为 0、2、4、6、8 3. 奇偶数有如下性质 1) 奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=奇数； 奇数奇数=奇数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=偶数 2) 两个数之和与这两个数之差，即ab和ab有着相同的奇偶性 如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同，如果这两个整数的和（或 差）是奇数，那么这两个整数一定一奇一偶 3) 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数 4) 若干个奇数之积为奇数，偶数与整数的乘积是偶数 5) 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶 数，那么其中至少有一个因子是偶数 6) 奇数的平方被 4 除余 1，偶数的平方是 4 的倍数 7) 相邻两个自然数之积必为偶数，其和必为奇数 简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 2 / 8 【例题1】 三个质数之和为 86， 三个质数是 2 , 5 , 7 9、2,11,73、2,13,71、2,17,67、2 23 61， ，、 2,31,53、2,37,47、2,41,43这三个数中必存一个偶质数，即 2 【例题2】 已知三个整数a、b、c的和为奇数，abcabc 一定是 奇 数（填奇或 偶） 【例题3】 三个不同的质数m、n、p满足mnp，mnp的最小值是 30 解：这三个数是 2、3、5 【例题4】 摆渡船往返于江的两岸，若最初从北岸开始，若干次后又回到北岸，那么船过江的次数 是 偶数 （奇数或偶数） ，若从北岸出发过江 2003 次后停在 南 （南或北）岸 【例题5】 五个连续奇数的和是 85，其中最大的数是 21 ，最小的数是 13 【例题6】 前 100 个正偶数之和等于 10100 解：10100.246200100 101 10100 【例题7】 200 个正整数，它们的和 5000，在这些数是数里奇数的个数比偶数多，偶数最多有 98 个 解： 由于奇数的个数比偶数多， 奇数的个数大于 100 又由于和为偶数， 则奇数的个数必须是偶数， 那么奇数个数至少须 102 个，即偶数至多 98 个 【例题8】 5 个连续奇数之和的绝对值的最小值为 5 解：5，3，1，1，3 或3，1，1，3，5 这五个连续奇数之和的绝对值最小 简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 3 / 8 【例题9】 有两个质数，它们的和是小于 100 的奇数，并且是 17 的倍数这两个质数是 2.83 解：两个数之和是奇数，两个数中必定有一个是偶数而质数中只有 2 是偶数，所以其中之一为 2由于两者和是 17 的倍数，和是奇数，且是 17 的奇数倍，之和又小于 100，所以只有 83 满足条 件 【例题10】 某次数学竞赛，共有 40 道选择题，规定答对一题得 5 分，不答得 1 分，答错倒扣 1 分， 证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数 证明：我们证明每一个学生的得分都是偶数设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有 40ab道题没有答，于是此人的得分是5404240aabbab，这是一个偶数所以不 论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数 【例题11】 设 1 x、 2 x、 n x4n 为 1 或-1，并且 1 23423451 23 0 n x x x xx x x xx x x x，求 证：n是 4 的倍数 证明： 设 1234 x x x x、2 345 x x x x、 、 123n x x x x中+1有k个， 于是-1也有k个， 故2nk为偶数 把 1234 x x x x、 2345 x x x x、 123n x x x x这n个数相乘，得 4 12 1 k n x xx ，所以11 k 故k是偶数，从而n 是 4 的倍数 【例题12】 在 2 1、 2 2、 2 3、 2 95这 95 个数中，十位数字为奇数的数共有 19 个 解：在 2 1、 2 2、 2 10中，十位数字为奇数的只有 2 416， 2 636而两位数的平方可表示为 2 22 1010020abaabb， 它与 2 b的十位数相同， 故符合条件的数有 2 4、 2 6、 2 14、 2 16、 2 24、 2 26、 、 2 84、 2 86、 2 94共 19 个 【例题13】 一个整数的平方若不能被 8 整除，余数可能为 1，4 解：由于奇数的平方被 8 除余 1，而偶数的平方是 4 的倍数，则 2 24 简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 4 / 8 【例题14】 一本书中间的某一张被撕掉了，余下各页码数之和是 1133，这本书有 48 页，撕掉的是 第 21 页和第 22 页 解：设这本书有n页，则 1 1133 2 n n ，可知48n 当48n 时， 48 49 1133432122 2 ， 所以被撕掉的是 21 和 22 页；当49n 时， 49 50 113349 25 1133 2 是偶数，被撕掉的页数是 连续正整数，其和为奇数，矛盾；当50n 时， 1 1 2 n n n 【例题15】 a、b、c都是质数，c是一位数，且1993a bc ，abc 194 解：由于c是一位质数，若2c ，则1993 21991 11 181a b，所以a、b的值为 11 和 181， 三个数的和为 194；若3,5,7c 时，由1993a bc 是偶数，则a、b中有一个是偶数 2，而另一个 数为1993 2 c 但当c 3、5、7 时，1993 2 c 却不为质数 【例题16】 三个连续的奇数的乘积是一个六位数，首位数字是 7，而个位数字不是 5，这三个连续奇 数之和为 267 或 273 解： 由于末尾数不是 5， 所以这三个连续奇数的个位数为 7、 9、 1 或 9、 1、 3 由于 33 87 ， 所以这三个连续奇数为 87、89、91 或 89、91、93 【例题17】 在黑板上写出三上整数， 然后擦去一个换成其他两数的和减去 1， 这样下去最后得到 23、 203、2003，甲同学说原来的数可能为 2、2、2，乙同学说原来的数不可能为 2、2、2， 乙 同学 说得对 解：若原来的数为 2、2、2，由法则可知这三个数变为两个偶数、一个奇数，不可能为三个奇数 简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 5 / 8 1. 若按奇偶分类，则 2008200820082008 2379是 奇 数 2. 设有101个正整数，记为 1 a、 2 a、， 101 a已知 1359910124100 24100Saaaaaaaa是偶数，是 偶 数（填奇或偶） 解： 1359910124100 24100Saaaaaaaa是偶数， 后括号内的数为偶数 3. 能否找到三个整数abc 、abc 、abc ，使得等式bca 成立 不能 （填能或不 能） 解：注意到abc 、abc 、abc 、bca 的奇偶性相同，故均为偶数，从而必为 16 的倍数，但A 4. 一次数学竞赛共有 30 道题，规定答对一得 2 分，答错一题扣 1 分，未答的题不计分，考试后一个 学生得了 49 分，如果他未答的题的数目是个奇数，那么他答错了 3 题 解：设答对E题，答错E题由于A，可知 1 x是奇数由于共 30 题，未答的是奇数道，所以 2 x 是小于 30 的奇数，则 n x为偶数所以仅当4n ， 1 23423451 23 0 n x x x xx x x xx x x x时满 足条件 5. 三个相邻的偶数的乘积是一个六数 8*2，这三个数之和是 288 解：由于个位数字为 2，所以这三个相邻偶数的个位数字必为 4、6、8而n，故这三个相邻偶数 必为 94、96、98，之和为 288 简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 6 / 8 6. 有一本故事收，共有 23 个故事，各个故事的页数分别为 1 页、2 页、3 页、22 页、23 页这 本故事书中每个故事的第一页是偶数页码的故事的个数最多为 16 解：一个故事页数是奇数，则这个故事与下个故事第一页页码奇偶性相反若一个故事页数是偶数，则 这个故事与下一个故事第一页的页码奇偶性相同所以最多为2n 7. 在桌子上放着四个杯子，杯口都朝上，每次翻动三个杯子，能否翻动若干次后，将杯子口全部朝 下？若杯子有五个，每次翻动四个杯子，其他条件不变，情况又如何？ 解：若是四个杯子，每次翻动三个杯子，能够使杯口全部相下，如下所示（表示杯口朝上，表示杯 口朝下）是一种翻法： 若是五个杯子，每次翻动四个杯子，就不能做到使全部朝上的杯子变为全部朝下，因为每个杯子 要翻动奇数次才能使杯口朝下， 五个杯子杯口全部朝下也必须翻动奇数次 但现在每次翻动四个杯子， 故翻动数不可能为奇数 简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 7 / 8 1. 设 1 x、 2 x、 2006 x中每个数取1或1，求证： 1232006 2320060 xxxx 证明： 12320061352005242006 232006352005242006xxxxxxxxxxx 1 x、 3 x3、 2005 x2005这 1003 个奇数它们的和为奇数，而 242006 242006xxx为偶数，故 122006 22006xxx为 奇数，不可能为 0 2. 有 n 个整数 12 , n a aa，满足 12 12 0,(1) ,(2) n n aaa a aan 求证：数 n 能被 4 整除 解：若 n 时奇数，由（2）可知 12 , n a aa全是奇，这样奇数个奇数和不为 0，与（1）矛盾，所以 n 必为偶因为 n 为偶数，所以 12 , n a aa中必有一个时偶数，不妨设 1 a为偶数，则由（1）可知 2n aa为偶，因为 0 为偶，所以 n-1 为奇数，如果 2, , n aa全是奇，则奇数个奇数的和仍为 奇，不等于偶数，所以 2, , n aa中必有一个为偶数，不妨设 2 a为偶数，因为 12 ,a a为偶数，所以 4|n 3. 有n个 数 x1， x2， ， xn， 它 们 中 的 每 一 个 数 或 者 为1， 或 者 为1 ， 如 果 0 113221 xxxxxxxx nnn 求证n是4的倍数 证：因为每一项的值为 1 或-1，共有 n 项，和为 0所以必有一半是 1，一半是-1 这样 n 是偶数设 2 (nk k 是正整数） ，另一方面 12231 ()()()1 ( 1)( 1) kkk n x xx xx x ，但 222 1223112 ()()()1 nn x xx xx xx xx ( 1)1, k k 是偶数，这样2nk是 4 的倍数 简单的简单的数论问题（数论问题（1 1） 8 / 8 4. 设有 n 个