2.2开集与闭集ppt课件

.,第二节开集、闭集与完备集,第二章n维空间中的点集,.,若E=E,则称E为开集（E中每个点都为内点)若,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）,P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：,说明：要证E是开集，只要证要证E是闭集，只要证,(1)开集、闭集,.,例1：开区间(a,b)为开集,说明：要证E是开集，只要证,证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|,则,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。,.,证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|,则,例2：闭区间a,b为闭集,说明：要证E是闭集，只要证,从而x不是a,b的接触点，,从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。,.,注：闭集为对极限运算封闭的点集,即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点,利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn,使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn,使得,若（或）,则称E为闭集。（与E接近的点不跑到E外）,.,E为开集,注：E为含于E内的最大开集,E,从而y为E的内点，从而所以x为E的内点，即,证明：只要证,任取，由内点的定义知,.,E为闭集,.,E为闭集,注：为包含E的最小闭集,E,从而即x为E的聚点，从而,.,(2)开集与闭集的对偶性,P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：P0为E的外点：,b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。,a.,.,开集的余集是闭集,P0为E的接触点：P0为E的内点：,从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而，即Ec为闭集。,证明：设E为开集，即,从而,.,闭集的余集是开集,证明：设E为闭集，即,任取，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，,从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内，这与矛盾，,所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。,P0为E的接触点：P0为E的内点：,.,开集的性质,a.空集，Rn为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。,注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1),.,b.任意一族开集的并是开集,证明,c.有限多个开集的交仍是开集,证明,.,闭集的性质,a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。,注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n,.,(5)Heine-Borel有限覆盖定理,设F为有界闭集，若开集簇覆盖F（即），则中存在有限个开集N1，N2，,Nn，它同样覆盖F,证明,.,.,.,例3：设F为R1中的有界闭集，G为开集且则存在0，使得当|x|时，有,证明：对任意的yF，由于yG，,由组成F的一个开覆盖及有限子覆盖定理，知存在y1,y2,ynF,.,且y与Gc中的任一点z之间的距离为,则当|x|时有y+xG，即,于是对每个yF至少属于某个,.,(6)完备集,定义1（i）若，即的每一点都是自身的聚点，则称是自密集；（ii）若，则称是完备集合。(自密的闭集或没有孤立点的闭集),定义2(i)设A、B是直线上任意两个集，若B的任意一点x的任意领域中总含有A的点，则称A在B中稠密.当时，称A是直线上的稠密集.(ii)若直线上任何开区间中总有子区间使得不含有A的点，则称A是疏朗集(无处稠密集).,.,问题：能否在直线上找到既完备有是疏朗的集合？,Cantor集的构造:将0，1均分为三段，删去中间的开区间，将剩下的两个区间再次三等分，删去中间的两个区间.如此继续下去，最终剩下的点集记作E，称之为Cantor集，则E是一个完备集。,.,Cantor集,对0,1区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集,.,Cantor集合E是一完备集合,1)E是一闭集.,设A是所有被删去的点作成的集合，则A是可数多个开集的和，所以A是开集.,2)E是一自密集.,.,Cantor集合E是一疏朗集合,Cantor集合E是直线上的一个无处稠密的完备集,.,Cantor集的性质,1.分割点一定在Cantor集中Cantor集P=0,1-G=0,1Gc为闭集,.,3.P没有内点,但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。,证明：对任意xP,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中,.,4.P中的点全为聚点,从而没有孤立点,从而x为P的聚点，当然不为孤立点。,证明：对任意xP，只要证：,由Cantor集的作法知而的两个端