中心力场第二讲

中心力场的特征：中心力场是球对称场，势V(r),几种特殊中心力场,万有引力场,库仑场原子结构中占有特别重要的地位,各向同性谐振子场,无限深球方势阱,原子核结构中占有重要的地位,中心力场中运动粒子的特征,1角动量守恒，能量守恒,2能量必是简单的（角动量为零的态除外）,第二讲中心力场,1,哈密顿量,角动量,对易关系,（角动量守恒）,构成守恒量的完全集合,能量的本征方程,在球坐标系下，方程可写成,取为,的共同本征态,一粒子在中心力场中运动的一般描述,2,代入方程（2），得到径向方程,注：（1）不同的中心力场V(r)决定不同的波函数R(r)及能量本征值E。,（2）由于中心力场的球对称，致使径向方程中不含磁量子数m，因此能量与m无关。,令,代入（4），则有,注：（1）方程（6）类似半壁无限高势垒中粒子一维运动方程。,（2）方程（6）中出现一项由轨道角动量引起的附加势能离心势能,。角,动量愈大，则离心势能愈大能级愈高。离心势能是正定的，因此，中心力场中粒,子的基态必属于l=0的态。,一般说来，中心力场中粒子的能量是（2l+1）重简并。,两体问题,实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题。,设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为,二粒子体系的能量本征方程,3,(7),引入质心坐标,及相对坐标,其中M=m1+m2（总质量）,（约化质量）,这样，方程（7）化为,令,4,代入（8）式，分离变量后，得,（9）,（10）,其中E=Et-Ec,说明：（9）式描述质心运动，是一个自由粒子的波动方程，Ec是质心运动能量，这一部分,与我们研究的体系的内部结构无关，常常不考虑。,（10）式描述相对运动部分，E是相对运动能量，（10）式与单体波动方程完全一样，,只不过把理解为约化质量。,附,5,同理：,同理：,6,二球方势阱,1无限深球方势阱,此种情况下，径向方程,可写成,（1）,（2）,令,，方程（1）改写为,（3）,此为球贝塞尔方程，其两个特解,球贝塞尔函数,球诺伊曼函数,（4）,（5）,7,这里，,和,为半奇数阶Bessel函数。（4）、（5）可写成,当0时，,因此在ra范围内的径向波函数应取为,即,（6）,Cl为归一化常数，k由（束缚态）边界条件（2）确定,有限,无限,（7）,（1）当球方势阱的半径为有限值时,为l阶球Bessel函数的零点，由此得,（8）,8,所以，径向方程（1）满足自然定解条件（有限性）及束缚态条件（2）的解：,（9）,按归一化条件,求出,（10）此时（11）在有限半径a的无限深方势阱中运动粒子的能量本征态,（12）,能量本征值由及（8）给出,9,（13）是(2l+1)重简并,由于,边界条件自然得到满足，对k或能量E不再有任何限制，即能量取连续谱，这相当于自由粒子的情况，由（10），此时，波函数不能归一化，但通常选择径向波函数如下：,（2）当球方势阱半径a时,10,2有限深球方势阱,考虑束缚态（EV0）情况将V(r)的表示式代入中心力场中运动粒子的径向方程,有（14）,（15）其中（16）（17）方程（14），（15）为球Bessel方程，在各自区域内的有限解分别为,11,是球贝塞尔函数，是虚宗量的球汉克尔函数，按照波函数及其微商（或，或）在界面r=a上连续以及在全空间的归一化条件，可以求出粒子的能量本征值和归一化条件Al、Bl。若仅考虑能量本征值，以l=0为例,由立即有,12,或ka在、象限中，上式还可改为,用图解法作曲线,曲线的交点给出其在横坐标轴上的坐标值，由此及（16）式，给出能量的本征值,13,附：,1球Bessel函数的正交性球Bessel函数的模,2,14,三、维各向同性谐振子场1在三维笛卡尔坐标系中求三维各向同性谐振子问题,体系的哈密顿算符为（1）schrdinger方程,（2）,我们用分离变量法解（2）式，首先（1）式的哈密顿算符可写为,其中令（3）（4）,则（2）式可分离成为以下三个方程,15,（5）,（5）式中的每个方程式的形式与一维线性谐振子的定态Scrdinger方程相同，这样可用一维线性谐振子的结果求解（这相当于选择作为力学量的完全集）（6）,16,（7）,故得三维各向同性线性谐振子的能量本征函数为（8）相应的能量本征值为,（9）（10）,17,能级简并度：,由（10）式看出，满足的的值事实上不止一组，这意味着三维谐振子的能级具有简并特点。对于给定N，有,（ny,nz可能取值的数目）,即当N给定时，nx可取0，1，2，N等N+1个值。当nx固定时，ny有0，1，2，等个取法，nx，ny都取定后，nz只有一种取法，即。所以可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为,18,2、在球极坐极系下求解三维各向同性线性谐振子问题,三维各向同性线性谐振子势哈密顿量,定态Schrdinger方程（11）由于各向同性，势能仅与r有关，而与角度及无关，故可用分离变量法求解（11）式，令,（12）满足方程,19,或波函数中的径向部分R(r)满足微分方程,（13）令k与的量纲均为长度-1，此时，方程（13）化为,（14）r=0与是微分方程的奇点，其余r为常点。现在研究当r0及r时，解R(r)的形式当r，方程（14）近似表为,R(r)有两个解：,但不满足波函数在无穷远处的边界条件（几率为0），弃之，因此，只能取,20,（15）当r0，方程（14）近似表为,R(r)有两个解但因，解不满足波函数在r=0处的有界条件因此，只能取,（16）综合（15）与（16）式，可设方程（14）的一般解为（17）代入（14），经计算化简，得到u(r)满足的微分方程为,（18）引进无量纲变数及参量,（19）,21,（20）,代入（18）式，经计算，可得出（21）此为合流超几何方程。,用幂级数法求解（21）式，=0点是方程的正则奇点，=是非正则奇点，其余为常点，在=0点的邻域内，可令方程的解为（22）代入（21）有,22,由此，得出级数的系数递推公式（23）或,（24）,在的情况下，式（22）是一无穷级数。当时，这样的无穷级数代入（17）式，所得到的径向波函数在时趋于，不满足在无穷远处几率为零的边界条件。因此，必须要求无穷级数解中断为一多项式。,当（25）,或（26）时，级数（17）成为一多项式，记为,23,称为合流超比函数，令将（26）式写为,（27）,此为三维各向同性线性谐振子的能量本征值，其中,而可见，谐振子的能量本征值不连续。相应于能量本征值（26）或（27）的径向本征波函数,（28）其中为归一化常数，由径向波函数的归一化条件,24,求得：（29）nr=0,1,2的径向波函数分别,以上各式中(2l+1)!或(2nr+2l+1)!等符号的定义是,25,ex.1.,一质量为的粒子，在中心力场中运动，求其基态（s态）的能量及波函数（1992北师大）,solve：波函数的径向方程考虑基态（s态）情况，上式可写成,令,（1）,26,或（2）此方程的解,当r=r1时，（3）r=r2时，（4）,由此，有或,能量本征值（5）相应的径向波函数,（6）由（3），并注意到，有,27,（7）代入（6）有,或由归一化条件求得,波函数可写成,28,ex.2.,试求粒子束缚在三维势场中的S态波函数及能级（均为大于零的常数），并讨论不存在束缚态能级的条件。提示：作变换,哈密顿算符的本征方程在球对称势中的径向方程为,Solve：,已知（1）,令（2）代入上式，则有（3）,作变换，方程（3）变为,29,（4）考虑束缚态：令,（5）并作变换（6）方程（4）写为,（7）,此为阶贝塞尔方程。由于要求在，即时，以比r慢的速度趋于无穷，其在的邻域内的有限解为,又由于（或）时，有界，即要求时，或,30,当给定后，就完全确定了，如的确定值记为，则由（5）式给出相应的能量（8）相应的径向波函数,相应的波函数