2016上海市中考压轴题解题策略：线段和差最值的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 线段和差最值的存在性问题解题策略 2015年 9月 13日星期日 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3， B，此时点 即 P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 例题解析 例 如图 1物线 y 2x 3与 、 ，点 果 点 图 1解析】如图 1抛物线的对称轴当作河流，点 对称，连结 么在 图 1点 此 由 y 2x 3，可知 3， 1所以 2，因此 P(1, 2) 图 1 图 1 如图，抛物线21 442y x x 与 ， 个动点 经过 ，再经过抛物线对称轴上的点 N，然后返回到点 A如果动点找出点 M、 求最短路程 图 2解析】如图 2照“台 球两次碰壁”的模型，作点 线的对称轴对称的点 A，作点 ，连结 AB与 ，与抛物线的对称轴交于点 N 在 中， 8， 6，所以 AB 10，即点 0根据相似比可以计算得到 83， 43， 1所以 M(83, 0)， N(4, 1) 图 2 如图 3物线248 293y x x 与 ，顶点为 B点 P是 线段 求出相应的点 图 3解析】题目读起来像绕口令，其实就是求 |最小值与最大值 由抛物线的解析式可以得到 A(0, 2)， B(3, 6)设 P(x, 0) 绝对值 |最小值当然是 0 了，此时 图 3解方程 22 (x 3)2 62，得 416x此时 P 41( ,0)6 在 据两边之差小于第三边，那么 |是小于 如图 3点 |得最大值，最大值 5此时 P 3( ,0)2 图 3 图 3 如图 4菱形 2， A 120，点 P、 Q、 C、 意一点，求 图 4解析】如 图 4 ，在 ， 于 如图 4点 Q上时， Q如图 4最小值为 QH， QQH 3 这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短 图 4 图 4 图 4 如图 5形 A 60， 3， A、 和 1，P、 E、 D、 图 5解析】 E、 F、 么办？ 1， 2是确定的，那么我们可以求 3的最小值，先求 最 小值（如图 5 如图 5最小值为 6所以 图 5 图 5 如图 6已知 A(0, 2)、 B(6, 4)、 E(a, 0)、 F(a 1, 0)，求 时，四边形 说明理由 图 6解析】在 四边形 把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点 如图 6线段 到线段 如图 6点 ， ，满足 由 A B 解方程 6 ( 2)24，得 43a 图 6 图 6 如图 7 ， 90， 2， 1点 A、 点 A在 在整个运动过程中，求点 图 7解析】如果把 个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边 显然 为 如图 7果选 ，那么 1， 2 在 是有 如图 7点 大值为 21 图 7 图 7例 如图 8已知 A( 2,0)、 B(4, 0)、 ( 5,3 3)D 设 含端点），连结 动点 出发，沿线段 个单位 的速度 运动到 F，再沿线段 个单位的速度运动到 点 用时最少？ 图 8解析】点 B(4, 0)、 ( 5,3 3)D 的坐标隐含了 30，不由得让我们联想到 30角所对的直角边等于斜边的一半 如果把动点 题就转化了 如图 8 2果点 段 个单位的速度运动到点 么点 个单位的速度正好运动到点 E因此当 如图 8 时 F( 2,2 3) 图 8 图 8 如图 9在 C 90， 6， 8点 结 点 ，求 图 9解析】如图 9 ，那么 以 如图 9 m，此时 53m 由 5 103解得 154m此时 1522m 图 9 图 9 如图 10知点 14的一个点，点 D、 0, 1)、(1, 2)，连结 图 10解析】点 有办法套用“牛喝水”的模型 设 P 21( , )4么 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44x x x 所以 21 14x 如图 1021 14x 的几何意义可以理解为抛物线上的动点 y 1的距离以 此 H 如图