山东菏泽一中高中数学《利用空间向量求空间角》学案新人教选修21

1 高二二部数学学案高二二部数学学案 NO.29NO.29 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角 【课程标准课程标准】 能用向量法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题 中的作用 【学习目标学习目标】 1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 【自主学习自主学习】 1. 异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？ 2.两向量的夹角的范围是什么？ 3、向量的有关知识 （1）两向量数量积的定义： （2）两向量夹角公式： （3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？ 【典型例题典型例题】 例例 1.1.在 RtAOB 中，AOB=90，现将AOB 沿着平面 AOB 的法向量方向平移到A1O1B1 的位置，已知 OA=OB=O O 1，取 A1B1 、A1O1的中点 D1 、F1，求异面直线 BD1与 AF1所成的 角的余弦值。 A B O B1 O1 F1 A1 D1 例例 2 2正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 E、F 分别为 CD、DD1的中点， (1)求直线 B1C1与平面 AB1C 所成的角的正弦值; 2 (2)求二面角 F-AE-D 的余弦值。 A A1 C1 B1 D C B D1 E F 例 3如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A，B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b,CD 的长为 c , AB 的长为 d .求 库底与水坝所成二面角的余弦值. A C B D 巩固练习：巩固练习：如图，已知：直角梯形 OABC 中，OABC，AOC=90，SO平面 OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2.求 异面直线 SA 和 OB 所成的角的余弦值； OS 与平面 SAB 所成角 的正弦值； 二面角 BASO 的余弦值. 3 O A B C S A C B D 教学过程教学过程 4 一、复习引入 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面， 把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等 问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） 二、知识讲解与典例分析 知识点 1、异面直线所成的角（范围： ） （1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线 a与 b 所成的不大于 90的角 ，叫做异面直线 a 与 b 所成的角。 （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 和 m ， n 问题 1 当与的夹角不大于 90时，异面 mn 直线 a、b 所成的角 与 和 的夹角的关 mn 系？ 相等 问题问题 2 2 当与的夹角大于 90时，异面直 mn 线 a、b 所成的角 与和 的夹角的关系？ 互补 mn 所以，异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 2 , 0 nm,coscos nm nm a b o a b 5 典型例题 1：在 RtAOB 中，AOB=90，现将AOB 沿着平面 AOB 的法向量方向平 移到A1O1B1 的位置，已知 OA=OB=OO1，取 A1B1 、A1O1 的中点 D1 、F1，求异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值。 解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设 OA=1,则 A(1,0,0) B(0,1,0) F1( ,0,1) D1( , ,1) 2 1 2 1 2 1 所以，异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值为 知识点 2、直线与平面所成的角（范围： ） 据图分析出直线与 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx ),1 , 0 , 2 1 ( 1 AF ) 1 , 2 1 , 2 1 ( 1 BD 11 11 11, cos BDAF BDAF BDAF 2 3 4 5 10 4 1 2 ,0 10 30 10 30 sin nAB,cos B A O n B A O n 6 A1 z C1 AD 平面所成的角的正弦值为 = 典型例题 2:正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，点 E、F 分别为 CD、DD1 的中点， (1)求直线 B1C1 与平面 AB1C 所成的角的正弦值; (2)求二面角 F-AE-D 的余弦值。 解： (1)以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1) 0, 0 1 ACnABn则 3、二面角（范围： ） ),0 , 1 , 0( 11 CB B D1 B1 C y x )0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 ( 1 ACAB 设平面AB1C的法向量为n =(x1,y1,z1), 所以 X1+z1=0 X1+y1=0 取x1=1,得y1=z1=-1 3 3 31 010 11 11 11 ,cos CBn CBn CBn 故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3 3 , 0 n1 n2 31 010 3 3 7 解：(2)由题意知)0 , 1 , 2 1 (), 2 1 , 1 , 0(FE )0 , 1 , 2 1 (), 2 1 , 1 , 0(AEAF 设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2), 典型例题 2 (2)点 E、F 分别为 CD、DD1 的中点，求二面角 F-AE-D 的余弦值。 n1 n2 cos 21, cosnn cos 21, cosnn 21, cosnn cos 8 取y2=1,得x2=z2=-2 所以 0 2 1 22 zy 0 2 1 22 yx 故m=(-2, 1,-2) 又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1) 观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D 的余弦值为 3 2 0, 0AEmAFm则 3 2 13 2 1 1 1 ,cos AAm AAm AAm 典型例题 3 如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝 斜面上的点 B 处.从 A，B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b ,CD 的长为 c , AB 的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图. dABcCDbBDaAC， 根据向量的加法法则, .DBCDACAB 2 2 2 )(DBCDACABd )(2 222 DBCDDBACCDACBDCDAC DBACbca2 222 DBCAbca2 222 于是，得 2222 2dcbaDBCA 设向量 与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.CADB 因此 .cos2 2222 dcbaab 所以 . 2 cos 2222 ab dcba l 9 库底与水坝所成二面角的余弦值是 . 2 2222 ab dcba 三、巩固练习 如图，已知：直角梯形 OABC 中， OABC，AOC=90，SO平面 OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2.求 异面直线SA 和 OB 所成的角的余弦值； 直线 OS 与