黑龙江省伊春市第二中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题含答案

伊春市第二中学2019-2020学年度第一学期期末考试高三学年 文科数学试卷分值：150分 时间：120分钟一、选择题（每小题5分，每题只有一个正确选项）1已知集合Ax|（x+1）（x3）0，B1，2，3，则AB（）Ax|1x3Bx|1x2C1，2，3D1，22已知复数z满足（1+i）z2i，则z（）A1iB1+iC1iD1+i3命题“R，sin0”的否定是（）AR，sin0BR，sin0CR，sin0DR，sin04下列函数中，既是奇函数又在（，+）上单调递增的是（）AysinxByCyDy5已知向量（2，1），（0，1），（+k）3，则k（）A2B2C4D46在等差数列an中，是方程x2+6x+20的两个实根，则（）A B3C6D27将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（）A BC D8.已知双曲线（a0）的一条渐近线为y，则双曲线的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）9执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（)A1 B2C3 D410.某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为（）A B C D 111.函数y的图象大致为（）ABCD12 已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f（x），并且当x0时，有2f（x）+xf（x）0，且 f（1）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，+）D（，1）（0，1）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13已知函数f（x），则ff（2） 14设x、y满足约束条件，则z2x3y的最小值是_.15点A，B，C，D均在同一球面上，AD平面ABC，其中ABC是边长为3的等边三角形，AD2AB，则该球的表面积为 16已知数列an的前n项和Sn满足，Sn3an2，数列nan的前n项和为Tn，则满足Tn100的最小的n值为 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcos C(2ac)cos B，()求B的大小；()若b，ac4，求a,c的值.18在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如下图所示（）估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1；（）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？合格优秀合计男生16女生4合计40P（x2k0） 0.05000100.001k03.8416.63510.828附：x219如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABBC，APAD2AB2BC2，点M在棱PC上 （）求证：AMCD；（）当AM平面PCD时，求三棱锥MPAD的体积20已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，短轴长为4（）求椭圆C的方程；（）过点N（0，2）作两条直线，分别交椭圆C于A， B两点（异于N），当直线NA，NB的斜率之和为4时，直线AB恒过定点，求出定点的坐标21已知函数f（x）（1）若f（x）在（0，+）上单调递增，求a的取值范围；（2）当a1且x0时，f（x）mln（x+1），求m的取值范围22.已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（为参数），直线经过定点P（2，3），倾斜角为（1）写出直线的参数方程和圆的标准方程；（2）设直线与圆相交于A，B两点，求PAPB的值 高三文科数学参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1已知集合Ax|（x+1）（x3）0，B1，2，3，则AB（）Ax|1x3Bx|1x2C1，2，3D1，2【解答】解：Ax|1x3；AB1，2故选：D2已知复数z满足（1+i）z2i，则z（）A1iB1+iC1iD1+i【解答】解：复数z满足（1+i）z2i，（1i）（1+i）z（1i）2i，化为2z2（i+1），z1+i故选：B3命题“R，sin0”的否定是（）AR，sin0BR，sin0CR，sin0DR，sin0【解答】解：特称命题的否定是全称命题，R，sin0的否定为：R，sin0，故选：B4下列函数中，既是奇函数又在（，+）上单调递增的是（）AysinxBy|x|Cyx3Dyln（+x）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，ysinx，为正弦函数，在（，+）上不是单调函数，不符合题意；对于B，y|x|，为偶函数，不符合题意；对于C，yx3，是奇函数但在（，+）上单调递减，不符合题意；对于D，ylnx（+x），既是奇函数又在（，+）上单调递增，符合题意；故选：D5已知向量（2，1），（0，1），（+k）3，则k（）A2B2C4D4【解答】解：因为（2，1），（0，1），所以（+k）+k21+k3，解得k4，故选：D6在等差数列an中，a2，a14是方程x2+6x+20的两个实根，则（）AB3C6D2【解答】解：a2，a14是方程x2+6x+20的两个实根，a2+a146，a2a142，由等差数列的性质可知，a2+a42a86，a83则，故选：A7将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（）ABCD【解答】解：将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组，共有3种方法，甲、乙两名同学分在同一小组，共有1种方法所以甲、乙两名同学分在同一小组的概率为故选：C8已知双曲线（a0）的一条渐近线方程为y，则双曲线的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0，）【解答】解：双曲线（a0）的渐近线方程为yx，由题意可得，即有a2，则双曲线的b，c，即有双曲线的焦点为（0，），故选：D9执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：根据题意，该框图的含义是当x2时，得到函数yx21；当x2时，得到函数ylog2x因此，若输出结果为3时，若x2，得x213，解之得x2当x2时，得ylog2x3，得x8因此，可输入的实数x值可能是2，2或8，共3个数故选：C10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ABCD1【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S11，高为1，故棱锥的体积V，故选：A11函数y的图象大致为（）ABCD【解答】解：根据题意，y，其定义域为x|x0，有f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；当x0时，ex0，则有ln（ex+ex）ln（ex）x，必有1，排除A；故选：C12已知定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f（x），当x0时，有2f（x）+xf（x）0，且f（1）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，+）D（，1）（0，1）【解答】解：当x0时，由2f（x）+xf（x）0可知：两边同乘以x得：2xf（x）+x2f（x）0，设：g（x）x2f（x），则g（x）2xf（x）+x2f（x）0，恒成立：g（x）在（0，+）单调递增，定义在R上的偶函数f（x），f（1）0，可得f（1）0，函数f（x）的图象如图：当x0；f（x）0成立的x的取值范围是：x1，当x0时，函数是偶函数，同理得：x1，综上可知：实数x的取值范围为（，1）（1，+），故选：B13已知函数f（x），则ff（2）【解答】解：函数f（x），f（2）22，ff（2）f（）故答案为：14设x、y满足约束条件，则z2x3y的最小值是【解答】解：由z2x3y得y，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y，由图象可知当直线y，过点A时，直线y截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z2x3y，得z23346126目标函数z2x3y的最小值是615点A，B，C，D均在同一球面上，AD平面ABC，其中ABC是等边三角形，AD2AB6，则该球的表面积为48【解答】解：如图，O为底面的中心，OO底面ABC，E为AD中点，且OEAD，在正三角形ABC中，由AB3求得，又OOAE3，OA2，S球41248，故答案为：4816已知数列an的前n项和Sn满足，Sn3an2，数列nan的前n项和为Tn，则满足Tn100的最小的n值为7【解答】解：根据题意，数列an满足Sn3an2，当n2时，有Sn13an12，可得：an3an3an1，变形可得2an3an1，当n1时，有S1a13a12，解可得a11，则数列an是以a11为首项，公比为的等比数列，则an（）n1，数列nan的前n项和为Tn，则Tn1+2+3（）2+n（）n1，则有Tn+2（）2+3（）3+n（）n，可得：Tn1+（）+（）2+（）n1n（）n2（1）n（）n，变形可得：Tn4+（2n4）（）n，若Tn100，即4+（2n4）（）n100，分析可得：n7，故满足Tn100的最小的n值为7；故答案为：717. （1）sinBcos C(2sinAsinc)cos B sin(B+C)=2sinAcosB cosB=，B=3。（2）a=3,c=1或a=1,c=3。18在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示（）估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1；（）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？合格优秀合计男生16女生4合计40附：P（x2k0） 0.05000100.001k03.8416.63510.828x2【解答】解：（）由频率分布直方图易知：0.0110+0.01510+0.02100.45；即分数在40，70）的频率为：0.45，所以0.03（x070）0.50.45，解得：x071.7；40名学生的测验成绩的中位数为71.7；（）由频率分布直方图，可得列联表如下：合格优秀合计男生16 6 22 女生14 4 18合计 30 10 40X20.1353.841；所以没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关19如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABBC，APAD2AB2BC2，点M在棱PC上（）求证：AMCD；（）当AM平面PCD时，求三棱锥MPAD的体积【解答】证明：（）设AD中点为E，连接AC、CE，由题意AEBC，ADBC，四边形ABCE为平行四边形又ABBC，ABBC1，ABCE为正方形在RtCDE中，CD，又AC，AD2，AC2+CD2AD2，CDACPA平面ABCD，CD平面ABCD，PACDPA，AC平面PAC，且PAACA，CD平面PACAM平面PAC，AMCD解（）由已知AM平面PCD，AMPCAC，PC，AM，PM，PM，C到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，所以三棱锥MPAD的高h，三棱锥MPAD的体积VMPAD20已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，短轴长为4（）求椭圆C的方程；（）过点N（0，2）作两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（异于N），当直线NA，NB的斜率之和为4时，直线AB恒过定点，求出定点的坐标【解答】解：（）由题意知：，2b4，a2c2b2解得a2，bc2，所以椭圆方程为（）当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为ykx+m（k0），A（x1，y1），B（x2，y2）由由kNA+kNB4，得，整理可得2kx1x2+（m2）（x1+x2）4x1x2（*）联立，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m280，由题意知二次方程有两个不等实根，代入（*）得，整理得整理可得（m2）（km2）0，m2，mk2，ykx+k2，y+2k（x+1），所以直线AB恒过定点（1，2） 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，A（x0，y1），B（x0，y2），其中y2y1，y1+y20，由kNA+kNBt，得，x01当直线AB的斜率不存在时，直线AB也过定点（1，2）综上所述，直线AB恒过定点（1，2）21已知函数f（x）（1）若f（x）在（0，+）上单调递增，求a的取值范围；（2）当a1且x0时，f（x）mln（x+1），求m的取值范围【解答】解：（1）f（x）在（0，+）上单调递增，f（x），即xexex+a0设g（x）xexex+a，则g（x）xex0，g（x）g（0）a1，则a10，得a1（2）当a1时，f（x）mln（x+1）exx1mxln（x+1）exx1mxln（x+1）0，设h（x）exx1mxln（x+1），