江苏扬州中学高二数学上学期月考试卷

江苏省扬州中学2017-2018学年高二数学上学期1月月考试卷（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1.已知命题：.是：_【答案】【解析】【分析】直接根据特称命题的否定解答.【详解】因为命题：，是一个特称命题，所以是：.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题：，全称命题的否定（）：.特称命题 ,特称命题的否定 ,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2.已知集合A=,集合B=，若命题“”是命题“”充分不必要条件，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析:因命题“”是命题“”充分不必要条件,故,故应填答案.考点：充分必要条件及运用3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_ 件.【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niNinN4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为_ 【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得k=1，s=2,满足条件k3，执行循环体，k=2，s=，满足条件k3，执行循环体，k=3，s=，不满足条件k3，输出 s=.故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.5.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，再求双曲线的渐近线，再求焦点到渐近线的距离.【详解】由题得抛物线的焦点为（1,0），双曲线的渐近线为所以焦点到渐近线的距离为.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点到直线的距离.6.曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求函数导数，利用导数的几何意义即可得到结论【详解】函数的导数为，则函数在点（1，1）处的切线斜率k=，则函数在点（1，1）处的切线方程为y+1=2（x+1），即y=2x+1.故答案为：y=2x+1【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是7.函数 的单调减区间为_【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再求函数的单调减区间.【详解】由题得，令所以函数的单调减区间为（-1,1）.故答案为：（-1,1）【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调减区间，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用导数求函数的单调区间:求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间.8.函数f (x)xsinx在区间0，上的最小值是_【答案】【解析】【分析】求出f（x）的导数，根据导数值的符号，确定f（x）在0，上单调性，从而得出当x=时，函数取最小值【详解】f（x）=cosx，x0，当0时，f（x）0，故f（x）在0，上单调递减；当x时，f（x）0，故f（x）在（，上单调递增；当x=时，函数取最小值，f（）=故答案为：【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用导数求函数的单调区间:求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间.9.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则 【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系10.过曲线上一点处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，是坐标原点，若的面积为，则_ .【答案】【解析】【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标【详解】由题意可得y0=x0，x00，y=1+，切线的斜率为1+，则切线的方程为yx0+=（1+）（xx0），令x=0得y=；令y=0得x=，OAB的面积S=，解得x0=（负的舍去）故答案为：【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.11.当 时，函数 有极值8，则 的值为_【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再根据【详解】由题得，当a=3,b=3时，所以函数单调递增，与已知不符，所以舍去.当时，满足题意.所以a+b=.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 是函数在存在极值的必要非充分条件，所以本题需要检验.12.若函数 有两个极值点，其中 ，且，则方程 的实根个数为_【答案】5【解析】【分析】由函数f（x）=lnx+ax2+bxa2b有两个极值点x1，x2，可得2ax2+bx1=0有两个不相等的正根，必有=b2+8a0而方程2a（f（x）2+bf（x）1=0的1=0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的个数【详解】函数f（x）=lnx+ax2+bxa2b有两个极值点x1，x2，f（x）=+2ax+b=，即为2ax2+bx1=0有两个不相等的正根，=b2+8a0解得x=x1x2，b0，x1=，x2=而方程2a（f（x）2+bf（x）1=0的1=0，此方程有两解且f（x）=x1或x2即有0x1x2，：x1，x20又x1x2=1 x21，f（1）=b0f（x1）0，f（x2）0根据f（x）画出f（x）的简图，f（x2）=x2，由图象可知方程f（x）=x2有两解，方程f（x）=x1有三解综上可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2共有5个实数解即关于x的方程2a（f（x）2+bf（x）1=0的共有5不同实根故答案为：5【点睛】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了图象平移的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力13.已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上异于顶点的一点，在上，且满足，为坐标原点.则椭圆离心率的取值范围_.【答案】【解析】【分析】设，,由得，再根据求得，联立方程得，再解不等式即得解.【详解】设，, ，,即 联立方程得：，消去得：解得：或 解得：综上，椭圆离心率的取值范围为 故答案为：【点睛】(1)本题主要考查向量的运算，考查向量垂直的坐标表示，考查椭圆离心率的范围，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是求出，再解不等式即得解.14.若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为_. 【答案】【解析】【分析】本题考察的是对复合函数的单调性的考察，对四个选项分别讨论。【详解】在上单调递增，故具有性质；在上单调递减，故不具有性质；，令，则，当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；，令，则， 在上单调递增，故具有性质【点睛】推出分段函数的单调性，既可以通过将其拆解为基本初等函数然后通过同增异减来判断，也可以通过求导来判断。二、解答题（本大题共6小题，计90分.其中:15,16,17各14分; 18,19,20各16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为）进行统计按照 ， 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在， 的数据） （1）求样本容量 和频率分布直方图中的， 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80分）的学生中随机抽取 2 名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在内的学生有3人，分数在内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有种，其中2名同学的分数至少有一名得分在内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率.试题解析：（1）由题意可知，样本容量 . (2)由题意可知,分数在内的学生有 人,分数在 内的学生有 人,抽取的 名学生的所有情况有 种, 其中 名同学的分数至少有一名得分在 内的情况有 种,所抽取的 名学生中至少有一人得分在内的概率为.16.设p：实数x满足x24ax+3a20； q：实数x满足0（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【答案】(1).；(2) 【解析】【分析】(1)先化简命题p和q,根据pq为真得出p和q的真假情况求出x的取值范围.(2)根据p是q的必要不充分条件列出a的不等式，解不等式即得解.【详解】因为x24ax+3a20，所以ax3a,所以1x3.因为0，所以（x-2）(x-4)0，所以2x4.因为pq为真，所以p，q中至少有一个为真，其反面是两个都是假命题，当两个命题都是假命题时，所以p，q中至少有一个为真时，x的范围为.(2)因为 p是q的必要不充分条件，所以.【点睛】(1)本题主要考查不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.(3) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；若且，即时，则是的充要条件.17.如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，ADAB，BCAB，且BC=1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？【答案】见解析【解析】【分析】分别以AB、AD所在直线为轴、轴建立直角坐标系，求出，再利用导数求圆柱的体积最大值和裁剪方法.【详解】分别以AB、AD所在直线为轴、轴建立直角坐标系，则圆弧DC的方程为：，设，圆柱半径为，体积为，则， ，设，令，得 当时，是减函数；当时，是增函数，当时，有极大值，也是最大值，当米时，有最大值米3，此时米，答：裁一个矩形，两边长分别为和，能使圆柱的体积最大，其最大值为 。【点睛】(1)本题主要考查坐标法和导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是建立坐标系，其二是求出.18.已知函数，其中（1）若，求的极值；（2）对于给定的实数、，函数图象上两点，（）处的切线分别为，若直线与平行，证明：A、B关于某定点对称，并求出该定点【答案】（1）极大值，极小值；（2）见解析【解析】【分析】(1)先求导，再利用导数求函数的极值.(2)先根据直线与平行得到，再求出，所以点，（）关于点对称【详解】（1）当，时，令（x+2）(x-1)=0,解得，所以函数在上是增函数，在（-2,1）上是减函数，所以.（2）因为，所以，所以，的斜率分别为，又直线与平行，所以，即因为，所以， 从而，所以又由上 ，所以点，（）关于点对称故当直线与平行时，点A与点B关于点对称【点睛】（1）本题主要考查利用导数求极值，考查曲线的切线问题，考查点的对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据直线与平行得到，其二是求出.19.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（）求椭圆的方程（）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交于两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【答案】(1) 椭圆方程为;(2)见解析.【解析】试题分析：（I）借助题设条件建立方程组求解；（II）借助题设运用直线与椭圆的位置关系推证和探求试题解析：（I）由题意得：，又点在椭圆上，解得，椭圆的方程为5分（II）存在符合条件的圆，且此圆的方程为证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为当直线的斜率存在时，设的方程为由方程组得直线与椭