高中数学必修2圆与方程典型例题

第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；点与圆的位置关系：当，点在圆外当=，点在圆上当，点在圆内（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。例1 已知方程.（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y=2x+5上，半径为2.练习：1方程表示的图形是（）以为圆心，为半径的圆 以为圆心，为半径的圆以为圆心，为半径的圆 以为圆心，为半径的圆2过点A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是( )A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)243点在圆的内部，则的取值范围是（） 或4若表示圆，则的取值范围是 5若圆C的圆心坐标为(2，3)，且圆C经过点M(5，7)，则圆C的半径为 .6圆心在直线yx上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 7以点C(2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 8求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab0)9求经过A(4，2)，B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程10求经过点(8，3)，并且和直线x6与x10都相切的圆的方程三、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；（2）过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 例 已知圆,Q是轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A，B两点(1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；(答：切线QA、QB的方程分别为和)(2)求四边形QAMB的面积的最小值；（答）(3)若，求直线MQ的方程.（答：直线的方程为或）练习：1以点(3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )A(x3)2(y4)216 B(x3)2(y4)216 C(x3)2(y4)29 D(x3)2(y4)219 2若直线xym0与圆x2y2m相切，则m为( )A0或2B2CD无解.直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是( )A B C D 设圆x2y24x50的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是 圆(x1)2(y2)220在x轴上截得的弦长是。 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_ 圆x2y22x2y10上的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为 圆心为C(3，5)，并且与直线x7y20相切的圆的方程为 求圆心在原点，且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程12（本小题15分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点(1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长13（本小题15分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点例4 已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.（）若、都和圆相切，求直线、的方程；（）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求圆的方程；（）当时，求、被圆所截得弦长之和的最大值.答案：（）、的方程分别为与或与（）圆的方程为（）即、被圆所截得弦长之和的最大值为1两个圆C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10的位置关系为( )A内切B相交C外切D相离2圆x2y22x50与圆x2y22x4y40的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )Axy10B2xy10 Cx2y10Dxy103圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线有且仅有( )A4条B3条C2条D1条14两圆x2y21和(x4)2(ya)225相切，试确定常数a的值 6 两圆和的位置关系是（ ）A 相离 B 相交 C 内切 D 外切7 圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是 8两圆和相切，则实数的值为 五、求圆的轨迹方程1、 点P是圆上的动点，点M为OP（O为原点）中点，求动点M的轨迹方程。2、 已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P满足PA=2PB，则点P轨迹方程所包围的图形面积等于 3、